Enunciado

Para a função custo e demanda dada, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.

C x = 680 + 4 x + 0,01 x 2 ,           p x = 12 - x 500

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade de otimização.

Aqui iremos utilizar nosso conhecimentos financeiros e de derivadas para encontrarmos o que se pede.

A função lucro é dada pela diferença entre a receita total e o lucro total:

L x = R x - C ( x )

Para se encontrar o máximo ou mínimo de uma função devemos deriva-la e igualar a derivada a zero, os pontos que encontrarmos, se encontrarmos, são os pontos de máxima ou de mínimo da função.

Passo 2

Temos então:

L ' x = 0

⇒ R ' x - C ' x = 0

⇒ R ' x = C ' ( x )

Isso significa que a receita marginal R ' ( x ) e C ' ( x ) devem ser iguais. Para que o ponto seja de fato um máximo, sabemos que devemos ter também uma concavidade para baixo, ou seja, a segunda derivada do lucro deve ser negativa. Então:

L ' ' x < 0

⇒ R ' ' x - C ' ' x < 0

⇒ R ' ' x < C ' ' ( x )

Satisfazendo então essas duas condições, teremos o lucro maximizado.

Passo 3

O enunciado nos dá a função custo total C ( x ) e o preço por item p x = 12 - x 500 . A receita total é o preço por item vezes a quantidade vendida:

R x = p x ⋅ x

= 12 - x 500 x

= 12 x - 500

Para cumprir a primeira condição, derivamos então C ( x ) e R ( x ) e igualamos:

C x = 680 + 4 x + 0,01 x 2

⇒ C ' x = 4 + 0,02 x

R x = 12 x - 500

⇒ R ' x = 12

C ' x = R ' x

⇒ 4 + 0,02 x = 12

⇒ 0,02 x = 8

⇒ x = 8 0,02

⇒ x = 400   u n i d a d e s

Passo 4

Devemos cumprir a segunda condição para que esse seja de fato o lucro máximo. Derivando novamente as duas funções:

C ' x = 4 + 0,02 x

⇒ C ' ' x = 0,02

R ' x = 12

⇒ R ' ' x = 0

Podemos ver que temos de fato:

R ' ' x < C ' ' ( x )

Então x = 400 maximiza o lucro.

Resposta

x = 400   u n i d a d e s

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