Enunciado

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ 0 1 d x 3 x + 1

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ d x 3 x + 1

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = 3 x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 + 1   d x = 3 d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x 3 x + 1 = ∫ d u 3 u = 1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 ∫ 1 u 1 2 d u = 1 3 ∫ u - 1 2 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

1 3 ∫ u - 1 2 d u = 1 3 ⋅ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 3 ⋅ u - 1 + 2 2 - 1 + 2 2 + C = 1 3 ⋅ u 1 2 1 2 + C = 2 u 1 2 3 + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ d x 3 x + 1 = 2 u 1 2 3 + C = 2 3 x + 1 1 2 3 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 1 d x 3 x + 1 = 2 3 x + 1 1 2 3 0 1 = 2 3 ⋅ 1 + 1 1 2 3 - 2 3 ⋅ 0 + 1 1 2 3 = 2 ⋅ 4 1 2 3 - 2 ⋅ 1 1 2 3 = 2 3

Resposta

∫ 0 1 d x 3 x + 1 = 2 3

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