Enunciado

Uma função f é dada por um gráfico. Determine se f é injetora.

Passo 1

Bom, galera!

Queremos saber se uma função é injetora. Você lembra o que significa injetora?

Uma função injetora é uma função para cada valor no contradomínio existe apenas um valor no domínio associado.

Em outras palavras, dois pontos diferentes x 1 ≠ x 2 tem sempre imagens diferentes f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) . Ou seja, cada y tem apenas um único x associado.

Olha essa representação em diagramas:

Então agora vamos olhar pra nossa f . Você acha que ela é injetora? A gente tem mais de um ponto x com o mesmo valor de y ? Tem algum y com 2 ou mais valores de x ?

Existe uma técnica pra ver isso, que se chama Método da Reta Horizontal. Se você conseguir traçar qualquer reta horizontal que cruze com a curva em mais de um ponto, então a função não é injetora. Vamos aplicar no passo 2!

Passo 2

Vamos pegar como exemplo y = 2 (reta azul). Não existe nenhum outro ponto de f x que toque nessa reta, apenas quando x = - 8 .

Perfeito! Mas pra gente concluir que a função é injetora, TODAS as retas horizontais precisam cruzar com a curva no máximo uma vez.

Mas só de olhar a gente vê que isso é verdade. É um possível traçar uma reta horizontal que cruze a curva 2 vezes.

Assim, todo valor do contradomínio ( e i x o   y ) tem apenas um valor associado no domínio ( e i x o   x ) . Em outras palavras, todo y tem apenas um único x associado.

Então a função é injetora!

Resposta

A função f é injetora.

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Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f é par e g é ímpar.
Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f é ímpar e g é par.
Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f e g são ambas ímpares.
Se f e g forem duas funções tal que f ∘ g x = x e g ∘ f x , então f e g serão funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas f x = x 2 ,x ≥ 0 g x = x