Calcule a integral

∫ csc 4 ⁡ x cot 6 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Precisamos relembrar a seguinte propriedade trigonométrica: cot 2 ⁡ ( α ) + 1 = csc 2 ⁡ ( α ) .

Então, substituindo

∫ csc 4 ⁡ x cot 6 ⁡ x d x = ∫ cot 6 ⁡ x csc 2 ⁡ x csc 2 ⁡ x d x = ∫ cot 6 ⁡ x cot 2 ⁡ x + 1 csc 2 ⁡ ( x ) d x

Vamos resolver pelo método da substituição

Seja u = c o t ⁡ ( x ) , temos que d u = - csc 2 ⁡ x d x , então, substituindo

∫ cot 6 ⁡ x cot 2 ⁡ x + 1 csc 2 ⁡ x d x = ∫ u 6 u 2 + 1 - d u = ∫ - u 8 - u 6 d u = - 1 9 u 9 - 1 7 u 7 + c = - 1 9 cot 9 ⁡ x - 1 7 cot 7 ⁡ x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ csc 4 ⁡ x cot 6 ⁡ x d x = - 1 9 cot 9 ⁡ x - 1 7 cot 7 ⁡ x + c

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