Enunciado

A função densidade conjunta para um par de variáveis aleatórias X e Y é

f x ,   y = C x ( 1 + y ) ,     s e   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 2 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine a constante C .

(b) Determine P X ≤ 1 ,   Y ≤ 1 .

(c) Determine P X + Y ≤ 1 .

Passo 1

(a) Galera, pra determinar C , lembre-se que temos que ter:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

Calculando a integral, obtemos:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 1 C x   d x ∫ 0 2 ( 1 + y )   d y = C x 2 2 0 1   .   y + y 2 2 0 2 = C 2   .   2 + 2 = 2 C

Então,

2 C = 1 ⇒ C = 1 2

Passo 2

(b) Agora vamos calcular a seguinte probabilidade:

P X ≤ 1 ,   Y ≤ 1 = ∫ - ∞ 1 ∫ - ∞ 1 f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 1 C x   d x ∫ 0 1 ( 1 + y )   d y = C x 2 2 0 1   .   y + y 2 2 0 1 = C 2   .   1 + 1 2 = 3 4 C = 3 4   . 1 2 = 3 8

Passo 3

(c) Para conseguirmos escrever a integral, vamos esboçar qual será a região de integração:

Assim, teremos:

P X + Y ≤ 1 = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 1 2 x ( 1 + y )   d y   d x = ∫ 0 1 1 2 x y + y 2 2 0 1 - x   d x = ∫ 0 1 1 2 x 1 - x + 1 - 2 x + x 2 2 d x = ∫ 0 1 1 2 3 x 2 - 2 x 2 + x 3 2 d x = 1 2 3 x 2 4 - 2 x 3 3 + x 4 8 0 1 = 1 2 3 4 - 2 3 + 1 8 = 5 48

Resposta

(a) C = 1 2

(b) P X ≤ 1 ,   Y ≤ 1 = 3 8

(c) P X + Y ≤ 1 = 5 48

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