Calcule o centro de massa

Passo 1

Através da integral dupla, as coordenadas do centro de massa de um conjunto B são dadas por:

x c = ∫ ∫ B x   d m ∫ ∫ B d m

y c = ∫ ∫ B y   d m ∫ ∫ B d m

Onde o elemento de massa é dado por:

d m = δ x ,   y   d x d y

Neste caso, B é dado no enunciado como uma elipse onde o eixo menor está em y , tal que:

- 1 ≤ x ≤ 1

E

x 2 + 4 y 2 = 1 → y = ± 1 - x 2 4 = 1 - x 2 2

Assim:

0 ≤ y ≤ 1 - x 2 2

Além de que, como a distância do ponto ao eixo x é dada por um valor em y , então a densidade apresenta uma constante de proporcionalidade para esse valor:

δ x ,   y = k y

Passo 2

Assim, para a coordenada x do centro de massa teremos:

∫ ∫ B x   d m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 x k y   d y d x = k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 x y   d y d x

= k ∫ - 1 1 x y 2 2 | 1 - x 2 2 0 d x = k ∫ - 1 1 x 1 - x 2 8 d x

= k 8 ∫ - 1 1 x - x 3 d x = k 8 x 2 2 - x 4 4 | 1 - 1 = 0

Este resultado já faz com que x c seja nulo.

Passo 3

Já para a coordenada y do centro de massa teremos:

∫ ∫ B y   d m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 y k y   d y d x = k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 y 2   d y d x

= k ∫ - 1 1 y 3 3 | 1 - x 2 2 0 d x = k 3 ∫ - 1 1 1 - x 2 1 - x 2 8 d x

= k 24 ∫ - 1 1 1 - x 2 3 / 2 d x

Aplicando a substituição x = s e n u , tal que d x = c o s u d u :

Quando x = 1 → u = π 2

Quando x = - 1 → u = - π 2

Então:

= k 24 ∫ - π / 2 π / 2 1 - s e n 2 u 3 / 2 c o s u   d u = k 24 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 3 u c o s u   d u

= k 24 ∫ - π / 2 π / 2 c o s 4 u d u

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Pode-se reescrever a integral como:

= k 24 ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 u 2 2 d u = k 96 ∫ - π / 2 π / 2 1 + 2 cos ⁡ 2 u + c o s 2 2 u d u

= k 96 ∫ - π / 2 π / 2 1 + 2 cos ⁡ 2 u + 1 + cos ⁡ 4 u 2 d u = k 96 ∫ - π / 2 π / 2 3 2 + 2 cos ⁡ 2 u + cos ⁡ 4 u 2 d u

Resultando em:

= k 96 3 2 u + s e n 2 u + s e n 4 u 8 | π 2 - π 2

= k 64 π

E

∫ ∫ B d m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 k y   d y d x = k ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 2 y d y d x

= k ∫ - 1 1 y 2 2 | 1 - x 2 2 0 d x = k 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 d x

= k 8 x - x 3 3 | 1 - 1 = k 8 1 - 1 3 - - 1 + 1 3

= k 8 2 - 2 3 = k 6

Passo 4

Logo, substituindo esses resultados nas equações, o centro de massa estará localizado em:

x c = 0 k / 6 = 0

E

y c = k π / 64 k / 6 = 3 32 π

Logo:

0 , 3 32 π

Resposta

0 , 3 32 π

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