Enunciado

Uma lâmina ocupa a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 2 y mas fora do círculo x 2 + y 2 = 1 . Encontre o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for inversamente proporcional à sua distância da origem.

Passo 1

Galera, conforme o exercício nos descreve, a lâmina deve ser assim:

E a densidade deve ser ρ r ,   θ = c r , pois a origem é o vértice oposto à hipotenusa.

Podemos calcular a massa então:

m = ∬ D   ρ ( x ,   y )   d A = ∫ π / 6 5 π / 6 ∫ 1 2   s e n   θ c r   r   d r   d θ = ∫ π / 6 5 π / 6 c 2   s e n   θ - 1 d θ = c - 2 cos ⁡ θ - θ π / 6 5 π / 6 = 2 c 3 - π 3  

Passo 2

Por causa da simetria, teremos:

x - = 0

Pra calcular y - , primeiro vamos calcular o momento M x em relação ao eixo x :

M x = ∬ D   y   ρ x ,   y   d A = ∫ π 6 5 π 6 ∫ 1 2   s e n   θ c r   s e n   θ   d r   d θ = ∫ π 6 5 π 6 c 2 4   s e n 3 θ - s e n   θ d θ = c 2 - 3 cos ⁡ θ + 4 cos 3 ⁡ θ 3 π 6 5 π 6 = c 3  

Então, temos:

y - = M x m = c 3 2 c 3 - π 3 = 3 3 2 3 3 - π

Resposta

x ,   - y - = 0 , 3 3 2 3 3 - π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o centro de massa
2. Seja B um compacto com fronteira de conteúdo nulo e com interior nãovazio e seja δ (x, y) contínua em B. Seja α ≠ 0 um real dado. Considere amudança de coordenadas x , y = s u + t v Onde u = cos ⁡
Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - ; y - do centro de massa de D . D = x ; y ∈ R 2 - 3 ≤ x ≤ 3 ;- 3 ≤ y ≤ 9 - x 2 e f x
Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x c ; y c do centro de massa de D . D = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 1 ; x ≤ y ≤ x + 1 e a densid
Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x c ; y c do centro de massa de D . D é a região no primeiro quadrante, limitada pelas c