Enunciado

A função densidade conjunta das variáveis aleatórias X ,   Y e Z é f x , y , z = C x y z se 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 2 e f x , y , z = 0 caso contrário.

  1. Determine o valor da constante C .
  2. Determine P ( X ≤ 1 , Y ≤ 1 , Z ≤ 1 ) .
  3. Determine P ( X + Y + Z ≤ 1 )

Passo 1

(a) A função densidade conínua tem que satisfazer

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y , z   d x d y d z = 1

Como se as variáveis estiverem fora do intervalo ( 0,2 ) a função é 0

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y , z   d z d y d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 C x y z   d x d y d z

= C ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 y z 2 0 2 d y d z = 2 C ∫ 0 2 ∫ 0 2 y z   d y d z

= 2 C ∫ 0 2 y 2 z 2 0 2 d z = 4 C ∫ 0 2 z   d z

= 8 C

E como isso tem que ser igual a 1

C = 1 8

Passo 2

(b) A probabilidade é calculada pela fórmula

P X , Y , Z ∈ E = ∭ E f x , y , z   d V

Então

P X ≤ 1 , Y ≤ 1 , Z ≤ 1 = ∫ - ∞ 1 ∫ - ∞ 1 ∫ - ∞ 1 f x , y , z   d x d y d z

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y z 8   d x d y d z = 1 8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 y z 2 0 1 d y d z

= 1 16 ∫ 0 1 ∫ 0 1 y z   d y d z = 1 16 ∫ 0 1 y 2 z 2 0 1 d z

= 1 32 ∫ 0 1 z   d z = 1 64 = 0,0156 = 1,56 %

Passo 3

(c) Para o intervalo X + Y + Z ≤ 1 , podemos dizer que, considerando que X , Y , Z ≥ 0 , já que a probabilidade de ser menor é 0

0 ≤ Z ≤ 1 - X - Y

0 ≤ Y ≤ 1 - X

0 ≤ X ≤ 1

Então

P X + Y + Z ≤ 1 = 1 8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 1 - x - y x y z   d z d y d x

= 1 8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y z 2 2 0 1 - x - y d y d x = 1 8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - x - y 2 2 d y d x

= 1 8 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y 1 - 2 x - 2 y + 2 x y + x 2 + y 2 2 d y d x

= 1 16 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x y - 2 x 2 y - 2 x y 2 + 2 x 2 y 2 + x 3 y + x y 3 d y d x

= 1 16 ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x x - 2 x 2 + x 3 y + ( 2 x 2 - 2 x ) y 2 + x y 3 d y d x

= 1 16 ∫ 0 1 x - 2 x 2 + x 3 y 2 2 + 2 x 2 - 2 x y 3 3 + x y 4 4 0 1 - x d x

= 1 16 1 12 ∫ 0 1 6 x - 2 x 2 + x 3 y 2 + 4 2 x 2 - 2 x y 3 + 3 x y 4 0 1 - x d x

= 1 192 ∫ 0 1 6 x - 2 x 2 + x 3 ( 1 - x ) 2 + 4 2 x 2 - 2 x ( 1 - x ) 3 + 3 x ( 1 - x ) 4 d x

Fazendo as distribuições separadas do primeiro termo

6 x - 2 x 2 + x 3 ( 1 - x ) 2 = 6 ( x - 4 x 2 + 6 x 3 - 4 x 4 + x 5 )

Do segundo termo

4 2 x 2 - 2 x ( 1 - x ) 3 = 4 ( - 2 x 5 + 8 x 4 - 12 x 3 + 8 x 2 - 2 x )

O terceiro

3 x ( 1 - x ) 4 = 3 ( x 5 - 4 x 4 + 6 x 3 - 4 x 2 + x )

Somando os três

6 x - 2 x 2 + x 3 ( 1 - x ) 2 + 4 2 x 2 - 2 x ( 1 - x ) 3 + 3 x ( 1 - x ) 4

= x 5 - 4 x 4 + 6 x 3 - 4 x 2 + x

Voltando a integral

= 1 192 ∫ 0 1 ( x 5 - 4 x 4 + 6 x 3 - 4 x 2 + x ) d x = 1 192 x 6 6 - 4 x 5 5 + 6 x 4 4 - 4 x 3 3 + x 2 2 0 1

= 1 192 1 6 - 4 5 + 3 2 - 4 3 + 1 2 = 1 192 1 6 - 4 5 - 4 3 + 2

= 1 192 5 - 24 - 40 + 60 30 = 1 192 1 30

= 1 5760 = 0,00017 = 0,017 %

Resposta

(a) C = 1 8

(b) 1,56 %

(c) 0,017 %

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