Enunciado

Seja E o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z , x = 0 e z = 0 com função densidade ρ x , y , z = 1 + x + y + z . Use um sistema de computação algébrica para determinar os valores exatos das seguintes quantidades para E .

  1. A massa
  2. O centro de massa
  3. O momento de inércia em relação ao eixo z

Passo 1

Podemos colocar a variação como sendo

0 ≤ z ≤ y

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

0 ≤ x ≤ 1

(a) A massa é dada por

m = ∭ E ρ   d V

m = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y 1 + x + y + z   d z d y d x

Usando um software para computar esse valor temos

m = 9 π + 44 96

Passo 2

(b) O centro de massa é ( x - , y - , z - ) onde

x - = 1 m ∭ E x   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y x 1 + x + y + z   d z d y d x

x - = 1 m 7 24

x - = 96 9 π + 44 7 24 = 28 9 π + 44

y - = 1 m ∭ E y   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y y 1 + x + y + z   d z d y d x

y - = 1 m 15 π + 64 240

y - = 30 π + 128 45 π + 220

z - = 1 m ∭ E z   ρ   d V = 1 m ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y z 1 + x + y + z   d z d y d x

z - = 1 m 13 90 + π 32

z - = 208 + 45 π 135 π + 660

Passo 3

(c) o momento de inércia em relação ao eixo z é dado por

I z = ∭ E x 2 + y 2 ρ x , y , z   d V

I z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ 0 y ( x 2 + y 2 ) 1 + x + y + z   d z d y d x

I z = 17 60 + π 16

Resposta

  1. m = 9 π + 44 96

  2. 28 9 π + 44 , 30 π + 128 45 π + 220 , 208 + 45 π 135 π + 660

I z = 17 60 + π 16

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