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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 8ª Edição - James Stewart - 13.4 - 32

Uma bola de massa 0,8 k g é arremessada ao ar em direção ao sul com velocidade escalar de 30 m / s e ângulo de 30 ° com o solo. Um vento do oeste aplica uma força constante de 4 N à bola na direção leste. Onde a bola cai e com que velocidade escalar?

Passo 1

Olá, tudo bem? Força aplicada em um objeto provoca nela uma aceleração. Essa aceleração vai ter mesma direção e sentido da força. E vai ser inversamente proporcional à massa desse objeto. Sendo uma força aplicada do oeste para o leste, ou seja, sentido positivo de i → , então a aceleração sentida na partícula vai ser:

F → = m . a →

4 N j → = ( 0,8 k g ) . a →

a x → = 5 m / s ² i →

A aceleração total da partícula vai ser dada pela componente vertical e horizontal:

a → = 5 i → - g j →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que encontrar a função posição de uma partícula que está sob o movimento de projéteis com aceleração na horizontal. Na vertical fica o movimento que já conhecemos, de queda livre. Agora a mudança é na horizontal, que vai passar a ser um movimento acelerado também. O adicional na velocidade é o mesmo, então ficamos com:

r → t = v 0 x t + 5 t 2 2 i → + v 0 y t - g t 2 2 j →

As velocidades iniciais são dadas por:

v = v 0 x i → + v 0 y j → = v cos ⁡ θ i → + v   sin ⁡ θ j →

E como o ângulo de lançamento é θ = 30 ° e a velocidade tem módulo 30 m / s a velocidade inicial fica:

v = 30 cos ⁡ 30 i → + 30   sin ⁡ 30 j → = 15 3 i → + 15 j →

E a função da posição fica:

r → t = 15 3 t + 2,5 t 2 i → + 15 t - 4,9 t 2 j →

O vetor velocidade em função do tempo vai ser:

v → t = 15 3 + 5 t i → + 15 - 9,8 t j →

Passo 3

O instante de tempo que a bola cai é dado quando a componente vertical da posição é zero. Sendo assim temos:

15 t - 4,9 t 2 = 0

4,9 t = 15

t = 15 4,9

Assim o alcance d vai ser dado pela posição nesse instante de tempo. Agora pegando a componente horizontal da posição temos:

d = 15 3 t + 2,5 t 2

E substituindo pelo tempo que acabamos de achar t = 15 / 4 , 9 temos:

d = 15 3 . 15 4,9 + 2,5 15 4,9 2

Colocando esses valores na calculadora temos:

d = 102,92 m

Passo 4

E a velocidade? Resgata lá do passo 1 a expressão pra velocidade em função do tempo:

v → t = 15 3 + 5 t i → + 15 - 9,8 t j →

Agora que sabemos o instante que a bola chega ao chão t = 15 4,9 , é só substituir ali em cima:

v → t = 15 3 + 5 . 15 4,9 i → + 15 - 9,8 . 15 4,9 j →

v → t = 41,28 i → - 15 j →

E a velocidade escalar é dada o módulo desse vetor:

v → = 41,28 2 + - 15 2 ≅ 44 m / s

Resposta

a l c a n c e   d = 102,92 m

v = 44 m / s

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