Enunciado

Funções f ( x , y ) = x y Curvas:i) A reta x = 2 t ,   y = t + 1 .ii) O segmento de reta x = 2 t ,   y = t + 1 ,   - 1 ≤ t ≤ 0 .iii)O segmento de reta x = 2 t ,   y = t + 1 ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolvermos este exercício, encontraremos os valores absolutos mínimo e máximo dada as funções sobre as curvas a seguir.

Passo 2

Funções:(a) f ( x , y ) = x y Curvas:i. A reta x = 2 t , y = t + 1 ii. O segmento de reta x = 2 t , y = t + 1 , - 1 ≤ t ≤ 0 iii. O segmento de reta x = 2 t , y = t + 1,0 ≤ t ≤ 1 Vamos ver como isso é possível? Acompanhe!

Passo 3

(a)Em primeiro lugar, veja que a derivada de f ( x , y ) = x y resultará em:

d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t d f d t = y d x d t + x d y d t

i. Para x = 2 t , y = t + 1 , temos que

d f d t = ( t + 1 ) ( 2 ) + ( 2 t ) ( 1 ) d f d t = 4 t + 2 = 0

Temos então que t = - 1 2 . Substituindo em x e y , encontramos:

x = - 1 y = 1 2

E o valor da função para o ponto - 1 , 1 2 é então f - 1 , 1 2 = - 1 2 quando t = - 1 2 .Assim, o absoluto mínimo é f - 1 , 1 2 = - 1 2 quando t = - 1 2 . Não há absoluto máximo.

Passo 4

ii. Para os extremos, temos:Para t = - 1 : x = - 2 e y = 0 . O valor da função é f ( - 2,0 ) = 0 Para t = 0 : x = 0 e y = 1 . O valor da função é f ( 0,1 ) = 0 Perceba que o absoluto mínimo é então f - 1 , 1 2 = - 1 2 quando t = - 1 2 , e o absoluto máximoé f ( 0,1 ) = 0 e f ( - 2,0 ) = 0 quando t = - 1,0 , respectivamente.

Passo 5

iii. Observe que não há a ocorrência de pontos críticos. Temos nos extremos então:Para t = 0 : x = 0 e y = 1 . O valor da função é f ( 0,1 ) = 0 .Para t = 1 : x = 2 e y = 2 . O valor da função é f ( 2,2 ) = 4 .O absoluto mínimo é f ( 0,1 ) = 0 quando t = 0 . O absoluto máximo é f ( 2,2 ) = 4 quando t = 1

Resposta

Resposta nos passos.

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