Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ´ ´ - y = x 3 - x

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 - 1 = 0 que tem solução r 1 = 1   e   r 2 = - 1   a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 e x + c 2 e - x

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A x 3 + B x 2 + C x + D

Suas derivadas ficam y p ´ = 3 A x 2 + 2 B x + C  

e y p ´ ´ = 6 A x + 2 B

onde y ´ ´ - y = x 3 - x

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

6 A x + 2 B - A x 3 + B x 2 + C x + D = x 3 - x

Agrupando em x 3 , x 2 , x ,   e   c o n s t a n t e       nós teremos:

( - A x 3 - B x 2 + 6 A - C x + 2 B - D = x 3 - x

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

- A = 1       B = 0     6 A - C = - 1     e     2 B - D = 0

Que implica em:

- 6 - C = - 1   s e   C = - 5     e       D = 0   p o í s   B = 0

Portanto a y p   s e r á :

y p = - x 3 - 5 x

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 e x + c 2 e - x - x 3 - 5 x

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 e - x - x 3 - 5 x

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