Enunciado

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ´ ´ + 9 y = e - 2 x

Passo 1

Primeiramente nós solucionamos a equação característica da parte homogenia onde

r 2 + 9 = 0 que tem solução r 1 = 3 i   e   r 2 = - 3 i   onde i 2 = - 1   a solução da parte homogenia será:

y h x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x = c 1 e 3 i + c 2 e - 3 i

Utilizando a identidade de Euler ( e i x = cos ⁡ x + i s e n ( x ) ) e resgatando a parte real nós teremos:

y h x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n ( 3 x )

Passo 2

Agora utilizaremos as técnicas dos coeficientes à determinar chutando uma solução particular do tipo y p = A e - 2 x

Suas derivadas ficam y p ´ = - 2 A e - 2 x  

e y p ´ ´ = 4 A e - 2 x

onde y ´ ´ + 9 y = e - 2 x

substituindo y p   n ó s   t e r e m o s :

4 A e - 2 x + 9 A e - 2 x = e - 2 x

Deixando e - 2 x e m   e v i d e n c i a   nós teremos:

e - 2 x 13 = e - 2 x

De fato, nós temos uma igualdade então os dois lados têm que ser iguais assim:

13 A = 1     e n t ã o   A = 1 13

Portanto a y p   s e r á :

y p = 1 13 e - 2 x

A solução da equação diferencial não homogenia será:

y x = y h + y p = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x + 1 13 e - 2 x

Resposta

y x = c 1 cos ⁡ 3 x + c 2 s e n 3 x + 1 13 e - 2 x

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