Enunciado

Expresse F ( x ) por partes, de forma que não envolva uma integral.

F x = ∫ - 1 x t d t

Passo 1

Para expressar essa função sem a integral precisaremos calcular essa integral. O pulo do gato aqui é que a função a ser integrada é um módulo. O módulo é uma função definida por partes:

f t = t t ,     t ≥ 0 - t ,     t < 0

Como nossa integral envolve valores positivos e negativos de t , precisamos dividir o cálculo dela respeitando a definição do módulo, usando t para o intervalo de valores positivos e - t para valores negativos.

E como queremos definir F ( x ) , iremos analisar o que acontece quando x ≥ 0 e x < 0 , levando essa definição do módulo em conta. Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar avaliando a função para x ≥ 0 . Olha como a função está definida:

F x = ∫ - 1 x t d t

Se consideramos que x é um valor positivo, vamos ter que calcular essa integral como uma soma de duas integrais, onde para:

- 1,0 ,     t = - t

0 , x ,     t = t

E aí montando a integral temos que:

F x = ∫ - 1 0 - t d t + ∫ 0 x t d t = - t 2 2 ​ - 1 0 + t 2 2 ​ 0 x

F x = 1 2 + x 2 2

Passo 3

Agora olhando para x < 0 .

Nesse caso, se consideramos x como um valor negativo, o intervalo [ - 1 , x ] só vai ter valores negativos e o módulo fica como - t . Aí calculando a integral:

F x = ∫ - 1 x - t d t = - t 2 2 ​ - 1 x = - x 2 2 + 1

Passo 4

Agora é só escrever a definição bonitinha da nossa função:

F ( x ) = 1 - x 2 2 ,       0 > x   1 + x 2 2 ,       0 ≤ x

Fofa, né?

Resposta

F ( x ) = 1 - x 2 2 ,       0 > x   1 + x 2 2 ,       0 ≤ x

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