Enunciado

o) f (x) = x ln x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função! Para isso vamos usar a regra do produto,

f^' (x) = (x)^' (ln x) + (x) (ln x) '

f^' (x) = 1 . ln x + x ((1)/(x))

f ´ (x) = ln x + 1

Fazendo a segunda derivada ficamos com,

f ´ ´ ( x ) = (1)/(x)

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos!

Passo 3

Repara que f ´ ´ ( x ) não existe em x != 0 , logo, esse é o único ponto crítico!

Antes de analisar o sinal da derivada, repara também que não podemos assumir valores negativos de x , por causa do domínio de f (x) = x l n ( x ) .

Com isso vamos analisar,

f ( x ) > 0 : ( 0 , + oo )

Ou seja,

f ´ ´ (x) = (1)/(x) > 0

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( 0 , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função não possui intervalos em que ela é côncava para baixo.

Não há pontos de inflexão.

Resposta

côncava para cima no intervalo: ( 0 , + oo )

Não há pontos de inflexão.

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