Enunciado

f) g(x) = (x^2)/(x^2 - 2)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

g ´ (x) = (2 x (x^2 - 2) - 2 x^3)/((x^2 - 2)^2)

g ´ ´ ( x ) = (- 4 (x^2 - 2)^2 + 16 x^2 (x^2 - 2))/((x^2 - 2)^4) = (12 x^2 + 8)/((x^2 - 2)^3)

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

g ´ ´ ( x ) = 0 -> x^2 - 2 = 0 -> x = - sqrt(2) e x = sqrt(2)

Logo,

g ´ ( x ) < 0 : ( - sqrt(2) , sqrt(2) )

g ´ ( x ) > 0 : ( - oo , - sqrt(2) ) U ( sqrt(2) , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

( - oo , - sqrt(2) ) U ( sqrt(2) , + oo )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

( - sqrt(2) , sqrt(2) )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso seriam - sqrt(2) e sqrt(2) . Mas como esses pontos não pertencem ao domínio da função (ficaria uma divisão por 0 ), não faz sentido dizer que eles são pontos de inflexão da função!

Só que, de fato, temos concavidades diferentes antes e depois desses pontos, beleza?

Resposta

côncava para cima no intervalo: (- oo , - sqrt(2) ) U ( sqrt(2) , + oo )

côncava para baixo no intervalo: ( - sqrt(2) , sqrt(2) )

Pontos de inflexão: não há.

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Analise as funções trigonométricas f nos intervalos especificados indicando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas x de todos os pontos de inflexão. V
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