Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 48
O Gateway Arch em St. Loius foi projetad por Eero Saarinen e contruído usando a equação
para a curva central do arco, em que e são medidos em metros e .
- Trace a cruva central.
- Qual é a altura do arco em seu centro?
- Em quais pontos a altura é m?
- Qual é a inclinação do arco nos pontos da parte (c)?
Passo 1
- Vamos lá, o gráfico da curva
- Para achar a altura devemos achar o da função:
- Para achar os pontos, devemos fazer :
- Para calcular a inclinação devemos derivar a expressão:
eria no seguinte formato:
Passo 2
Temos que para calcular precisamos da fórmula:
Assim, temos então que:
Então temos que a altura do arco em seu centro é m.
Passo 3
Temos que calcular , para isso precisamos da fórmula:
Vamos substituir então:
Então, os pontos em que a altura é m são:
e
Passo 4
Então:
Vamos usar inicialmente a regra da subtração:
Passo 2
Para derivar o primeiro termo vamos usar a regra da constante:
Assim, ficamos com:
Já o segundo termo vamos usar algumas regras, a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas, da multiplicação por constante e do polinômio:
Vamos aplicar as regras então:
Vamos agora voltar a expressão original:
Nosso próximo passo é calcular , que fica fácil ao sabermos das fórmulas abaixo:
e
Passo 3
Vamos substituir:
E por último é só substituir nos pontos que achamos na letra (c):
Assim, a inclinação em é e a inclinação em é 3,6.
Resposta
- m
- e
- Em é e em é 3,6