Enunciado

O Gateway Arch em St. Loius foi projetad por Eero Saarinen e contruído usando a equação

y = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x

para a curva central do arco, em que x e y são medidos em metros e x ≤ 91,20 .

  1. Trace a cruva central.
  2. Qual é a altura do arco em seu centro?
  3. Em quais pontos a altura é 100 m?
  4. Qual é a inclinação do arco nos pontos da parte (c)?

Passo 1

  1. Vamos lá, o gráfico da curva
  2. y = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x

    eria no seguinte formato:

    Passo 2

  3. Para achar a altura devemos achar o f 0 da função:
  4. f 0 = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765.0 = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0

    Temos que para calcular cosh ⁡ 0 precisamos da fórmula:

    cosh ⁡ x = e x + e - x 2

    Assim, temos então que:

    f 0 = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0 = 211,49 - 20,96 . e 0 + e - 0 2 = 211,49 - 20,9.1 = 190,53

    Então temos que a altura do arco em seu centro é 190,53 m.

    Passo 3

  5. Para achar os pontos, devemos fazer y = 100 :
  6. 100 = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x → 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x = 111,49 → cosh ⁡ 0,03291765 x = 111,49 20,96 → 0,03291765 x = ± cosh - 1 ⁡ 111,49 20,96

    Temos que calcular cosh - 1 ⁡ 111,49 20,96 , para isso precisamos da fórmula:

    c o s h - 1 x = ln ⁡ x + x 2 - 1

    Vamos substituir então:

    0,03291765 x = ± cosh - 1 ⁡ 111,49 20,96 → x = ± ln ⁡ 111,49 20,96 + 111,49 20,96 2 - 1 0,03291765 ≈ ± 71,56

    Então, os pontos em que a altura é 100 m são:

    71,56   ,   100 e - 71,56   ,   100

    Passo 4

  7. Para calcular a inclinação devemos derivar a expressão:

y = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x

Então:

y ' = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x '

Vamos usar inicialmente a regra da subtração:

y ' = 211,49 - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x ' = 211,49 ' - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x '

Passo 2

Para derivar o primeiro termo vamos usar a regra da constante:

c ' = 0

Assim, ficamos com:

211,49 ' = 0

Já o segundo termo vamos usar algumas regras, a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas, da multiplicação por constante e do polinômio:

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

k f x ' = k f ' ( x )

x n ' = n x n - 1

Vamos aplicar as regras então:

20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x ' = 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x ' = 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x 0,03291765 x ' = 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x 0,03291765 x 1 - 1 = 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x . 0,03291765

Vamos agora voltar a expressão original:

y ' = 211,49 ' - 20,96 cosh ⁡ 0,03291765 x ' = 0 - 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x . 0,03291765 = - 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x . 0,03291765

Nosso próximo passo é calcular senh ⁡ 0,03291765 x , que fica fácil ao sabermos das fórmulas abaixo:

senh ⁡ x = e x - e - x 2 e senh ⁡ - x = - senh ⁡ x = - e x - e - x 2  

Passo 3

Vamos substituir:

y ' = - 20,96 senh ⁡ 0,03291765 x . 0,03291765 = - 20,96 e 0,03291765 x - e - 0,03291765 x 2 . 0,03291765

E por último é só substituir nos pontos que achamos na letra (c):

y ' 71,56 = - 20,96 senh ⁡ 0,03291765.71,56 . 0,03291765 = - 20,96 e 0,03291765.71,56 - e - 0,03291765.71,56 2 . 0,03291765 ≈ - 3,6

y ' - 71,56 = - 20,96 senh ⁡ 0,03291765 . - 71,56 . 0,03291765 = - 20,96 - e 0,03291765.71,56 - e - 0,03291765.71,56 2 . 0,03291765 ≈ 3,6

Assim, a inclinação em 71,56   ,   100 é - 3,6 e a inclinação em - 71,56   ,   100 é 3,6.

Resposta

  1. 190,53 m
  2. 71,56   ,   100 e - 71,56   ,   100
  3. Em 71,56   ,   100 é - 3,6 e em - 71,56   ,   100 é 3,6
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Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y sen ⁡ 2 x = x cos ⁡ 2 y ,π 2 , π 4
Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. sen ⁡ x + y = 2 x - 2 y ,( π , π )
Encontre f ' ( x ) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' . f x = a r c t g ( x 2 - x )
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y = x 3 - 3 x + 1 , ( 2,3 )
Se a equação de uma reta tangente à curva f ( x ) em 4,3 passar pelo ponto 0,2 encontre f 4ef ' ( 4 ) .