Enunciado

Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o maior volume possível de um cilindro inscrito em uma esfera de raio r .

Isso significa que precisamos maximizar o volume do cilindro, então precisamos de uma expressão para esse volume. Para encontrar essa expressão, vamos partir do triângulo retângulo formado na figura, que nos fornece a equação:

r 2 = x 2 + y 2

Além disso, a gente sabe que o volume de um cilindro é dado por V = π r 2 h , onde r é o raio e h é a altura do cilindro. N nosso caso, podemos descrever esse raio como y e sua altura como 2 x , repare na figura. Assim, vamos ter o volume na seguinte forma:

V = π y 2 ( 2 x )

Dessa forma, conseguimos isolar y na primeira equação e substituir na equação do volume pra, então, encontrar seus pontos críticos e consequentemente as dimensões que fazem esse cilindro ser o maior possível.

Vamos lá!

Passo 2

Usando a relação de Pitágoras do triângulo retângulo, vista no passo 1 , vamos isolar y para obter:

y 2 = r 2 - x ²

Substituindo y na fórmula do volume, vamos ter:

V = π ( r 2 - x 2 ) 2 x

Aplicando a distributiva nesse produto:

V =   2 π r 2 x - 2 π x 3

Agora vamos maximizar esse volume.

Passo 3

Vamos começar derivando a equação do volume em relação a x :

V ' x = 2 π r 2 - 6 π x 2

E igualando essa expressão a zero, temos:

2 π r 2 - 6 π x 2 = 0

6 π x 2 = 2 π r 2

Isolando x :

x 2 = r 2 3

x = r 3

Esse é um ponto de máximo da nossa função. Então, vamos substituir o valor de x na equação:

y 2 = r 2 - x ²

Assim, temos:

y 2 = r 2 - r 2 3

y 2 = 2 r 2 3

Passo 4

E finalmente encontrando o volume:

V = π y 2 2 x

Substituindo x e y 2 na nossa equação, temos:

V = π 2 r 2 3 2 r 3

V = 4 π r 3 3 3

Então, o maior volume possível de um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio r é 4 π r 3 3 3 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 4 π r 3 3 3

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