Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 31
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar o maior volume possível de um cilindro inscrito em uma esfera de raio .
Isso significa que precisamos maximizar o volume do cilindro, então precisamos de uma expressão para esse volume. Para encontrar essa expressão, vamos partir do triângulo retângulo formado na figura, que nos fornece a equação:
Além disso, a gente sabe que o volume de um cilindro é dado por , onde é o raio e é a altura do cilindro. N nosso caso, podemos descrever esse raio como e sua altura como , repare na figura. Assim, vamos ter o volume na seguinte forma:
Dessa forma, conseguimos isolar na primeira equação e substituir na equação do volume pra, então, encontrar seus pontos críticos e consequentemente as dimensões que fazem esse cilindro ser o maior possível.
Vamos lá!
Passo 2
Usando a relação de Pitágoras do triângulo retângulo, vista no passo , vamos isolar para obter:
Substituindo na fórmula do volume, vamos ter:
Aplicando a distributiva nesse produto:
Agora vamos maximizar esse volume.
Passo 3
Vamos começar derivando a equação do volume em relação a :
E igualando essa expressão a zero, temos:
Isolando :
Esse é um ponto de máximo da nossa função. Então, vamos substituir o valor de na equação:
Assim, temos:
Passo 4
E finalmente encontrando o volume:
Substituindo e na nossa equação, temos:
Então, o maior volume possível de um cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio é .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
Resposta
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