Enunciado

Um tanque contém 1000   L de água salgada com 15   k g de sal dissolvido. Água pura entra no tanque a uma taxa de 10   L / m i n . A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. Quanto sal há no tanque

(a) após t minutos e

(b) após 20 minutos?

Passo 1

Bom, pessoal. Aqui a gente tem um tanque com água e sal. Você concorda que se eu adiciono mais água pura, mas subtraio água junto com sal, a tendência é que o sal vá diminuindo?

Nós vamos calcular a quantidade que vai restar, e já que o enunciado nos deu algumas taxas, a dica implícita é que vamos precisar montar uma equação diferencial.

Passo 2

Vamos chamar de x a quantidade de sal no tanque, então d x d t é a variação dessa quantidade no tempo. Como não tá entrando sal, tá apenas saindo, essa variação vai ser a quantidade que tá saindo por tempo, e com o sinal negativo, justamente porque está diminuindo:

d x d t = -   ( t a x a   d e   s a í d a   d e   s a l )

Mas agora, quanto que tá saindo? O enunciado nos disse que a solução escoa do tanque na mesma taxa que a água entra, então será que d x d t = 10   L m i n ?

NÃO! Pois isso é a taxa de saída da solução água com sal, não somente do sal. A gente precisa saber o quanto dessa solução corresponde a sal, ou seja, a concentração:

d x d t = - ( c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n a   s o l u ç ã o × t a x a   d e   s a í d a   d a   s o l u ç ã o )

Agora, qual a concentração de sal? Será que é 15   k g 1000   L ?

NÃO! Isso seria a concentração inicial, observe que a quantidade de sal na solução muda com o tempo, então a concentração deve ser a quantidade de sal atual sobre o volume do tanque:

d x d t = - x ( t ) 1000   L   10   L m i n  

d x d t = - 0 , 01   x

Passo 3

(a) Show! Agora vamos resolver a equação diferencial pra achar x t , que é o que esse item tá pedindo. Ela é do tipo separável, então só separa cada variável de um lado e integra:

1 x   d x = - 0,01   d t

∫ 1 x   d x = ∫ - 0 , 01   d t + C

ln ⁡ | x | = - 0 , 01   t + C

x = e - 0,01 t   +   C

x = C e - 0,01   t

Sabemos que a quantidade inicial de sal era 15   k g , então usamos x 0 = 15 pra achar a constante:

15 = C e - 0 , 01   .     0

C = 15

Prontinho!

x t = 15   e - 0,01   t

Passo 4

(b) Agora ele quer saber a quantidade de sal quando t = 20 , é só jogar isso na solução do item anterior, né?

x 20 = 15   e - 0,01   .   20

x 20 = 15   e - 0,2 ≈ 12,3

Então ainda restaram cerca de 12 , 3   k g de sal, beleza?

Resposta

(a) x t = 15   e - 0,01   t

(b) 15   e - 0,2 ≈ 12,3   k g

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