Enunciado

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O gráfico de g consiste em duas retas e um semicírculo. Use-o para calcular cada integral.

Passo 1

Muito bem galera, antes de começar devemos que lembrar, o que significa calcular a integral de uma função?

A área abaixo do gráfico, não é?

Agora que sabemos disso já ficou mais fácil. Na letra a, vamos integrar a função de x indo de 0 até 2.

Se olharem no gráfico a figura formada abaixo da curva é um triângulo. Qual a área de um triângulo?

A 0 → 2 = B a s e × A l t u r a 2 = 2 - 0 × ( 4 - 0 ) 2 = 8 2 = 4

Sendo assim,

∫ 0 2 g x . d x = 4

Na letra b, a área formada acima da curva com x indo de 2 até 6 é um semicírculo. Se a área do círculo é π . R ² , então o semicírculo é   π R 2 2 .

Como estamos falando da área acima da curva:

A 2 → 6 = -   π R 2 2

Como o R é metade do diâmetro:

A 2 → 6 = -   π d 2 2 2

Substituindo:

A 2 → 6 = -   π 4 2 2 2 = - 2   π

Sendo assim:

∫ 2 6 g x . d x = - 2   π

Passo 2

Na letra c, vamos integrar a função de x indo de 0 até 7.

Já sabemos as áreas do intervalo de 0 até 6, então só precisamos achar a área de x indo de 6 até 7.

Se olharem no gráfico a figura formada abaixo da curva é um triângulo. E já sabemos a área:

A 6 → 7 = B a s e × A l t u r a 2 = 7 - 6 × ( 1 - 0 ) 2 = 1 2

Sendo assim,

∫ 0 7 g x . d x = ∫ 0 2 g x . d x + ∫ 2 6 g x . d x + ∫ 6 7 g x . d x

∫ 0 7 g x . d x = 4 - 2   π + 1 2 = 9 2 - 2   π

Resposta

∫ 0 7 g x . d x = 9 2 - 2   π

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