Enunciado

Suponha f derivável no intervalo I . Prove que se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 em I .

Passo 1

Lembre-se de que a derivada é dada pelo seguinte limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Então, vamos dividir em dois casos: quando h > 0 e quando h < 0 , beleza?

Lembrando que o caso h = 0 não interessa quando calculamos esse limite, pois h → 0 significa que estamos olhando apenas para as proximidades do ponto h = 0 , e não para o próprio ponto.

Passo 2

Quando h > 0 , teremos:

x + h > x

Como f é estritamente crescente:

f x + h > f x

f x + h - f x > 0

f x + h - f x h > 0

pois h > 0 . Assim, quando tomamos o limite dessa expressão com h → 0 , o resultado só pode ser maior ou igual a zero, pois pode acontecer de a expressão se aproximar cada vez mais de zero, mas com valores sempre maiores do que zero:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≥ 0

f ' x ≥ 0

Passo 3

De modo análogo, analisamos o caso quando h < 0 , onde teremos:

x + h < x

Como f é estritamente crescente:

f x + h < f x

f x + h - f x < 0

f x + h - f x h > 0

pois h < 0 , o que troca o sinal da expressão. Logo,

lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h ≥ 0

f ' x ≥ 0

Como analisamos para todos os casos possíveis, está provada a afirmação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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