Enunciado

Explique por que o método de Newton falha quando aplicado à equação x 3 = 0 com qualquer valor inicial x 1 ≠ 0 . Ilustre sua explicação com um esboço.

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = x 3

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar a regra de derivação do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = x 3 ' = x 1 3 ' = 1 3 x 1 3 - 1 = 1 3 x 2 3

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - x n 3 1 3 x n 2 3 = x n - 3 x n = - 2 x n

Vamos analisar a aproximação, cada aproximação sucessiva se torna duas vezes maior que a anterior em valor absoluto, então ela vai falhar em convergir para a raiz, que é 0 , dá pra ver isso direitinho no gráfico abaixo, onde x 1 = 0,5 , x 2 = - 2 . 0,5 = - 1 e x 3 = - 2 . - 1 = 2 .

Resposta

Cada aproximação sucessiva se torna duas vezes maior que a anterior em valor absoluto, então ela vai falhar em convergir para a raiz.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico. g x = x e - 3 x
Esboce o gráfico. f x = 2 x + 1 + e - x
Esboce o gráfico. y = x 3 - x + 1 x 2
Esboce o gráfico. y = x 2 x + 1
Esboce o gráfico. f x = x 4 - 2 x 2