Enunciado

64- O gráfico de y = x - ln ⁡ x ,   x > 0 , tem um ponto de inflexão? Tente responder a essa questão (a) pela representação gráfica e (b) usando cálculo.

Passo 1

Letra a)

Gráfico:

Difícil precisar mas parece que antes de um ponto entre 10 e 15 a função tem concavidade para cima e depois disso a concavidade é para baixo. Mas é tão pequeno que não dá para ter certeza.

Passo 2

A primeira derivada é:

y ' = 1 2 x - 1 x

Agora a segunda derivada.

y ' ' = - 1 4 x - 3 2 + 1 x 2

Agora igualando y ' ' com zero para encontrar o ponto de inflexão nós temos:

- 1 4 x - 3 2 + 1 x 2 = 0

1 x 2 = 1 4 x - 3 2

4 = x 2 - 3 2 = x 1 2

x = 16

Logo conseguimos precisar com cálculo que em x = 16 temos um ponto de inflexão, o que não daria para dizer olhando somente para o gráfico.

Resposta

  1. Não dá para afirmar pelo gráfico
  2. x = 16
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