m)   ∫ 0 1 x 2 x + 1 2   d x  

Passo 1

Dando uma olhada na nossa integral, temos um termo no denominador e no denominador dois termos dentro de um parênteses que está sendo elevado ao quadrado. Talvez seja uma boa, substituir o termo do numerador e tentar resolver por substituição, certo?

u = x + 1 ∴ x = u - 1

Derivando,

d u = d x

Show de bolê! Agora nossa função ali dentro da integral vai ficar com essa cara aqui, ó:

∫ u - 1 2 u 2 d u

Mas e os limites de integração... não podemos esquecer deles, precisamos arruma-los.

l i m i t e   i n f e r i o r > x = 0 > u - 1 = 0 > u = 1

l i m i t e   s u p e r i o r   > x = 1 > u - 1 = 1 > u = 2

Agora, arrumando tudo na nossa integral definida!

∫ 1 2 u - 1 2 u 2 d u

Passo 2

Agora, é resolver esse troço aí... vamos primeiro abrir esse quadrado do numerador:

∫ 1 2 u - 1 2 u 2 d u = ∫ 1 2 u 2 - 2 u + 1 u 2 d u

Esse cara aí, fica mais legal quando separamos os termos e aplicamos aquela definição de integral marota...

∫ 1 2 u 2 u 2 - 2 u u 2 + 1 u 2 d u = ∫ 1 2 u 2 u 2 d u - 2 ∫ 1 2 u u 2 d u + ∫ 1 2 1 u 2 d u

E pra fechar, a gente corta alguns termos

∫ 1 2 d u - 2 ∫ 1 2 1 u d u + ∫ 1 2 1 u 2 d u

Passo 3

Agora é só terminar!

u | 1 2 - 2 ln ⁡ u | 1 2 - 1 u | 1 2

2 - 1 - 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 - 1 2 - 1

1 - 2 ln ⁡ 2 - - 1 2

1 - 2 ln ⁡ 2 + 1 2

Prontinho

Resposta

1 - 2 ln ⁡ 2 + 1 2

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