Enunciado

n) int e^(sqrt(2) x) d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = int e^(sqrt(2) x) d x

Não esquece: int e^x d x = e^x + c

Também é bom lembrarmos essa derivada (e^(a x))^' = a e^(a x)

Juntando as duas informações,

int e^(a x) d x = (e^x)/(a) + c

Onde, a é uma constante qualquer.

Passo 2

Resolvendo! O enunciado nos forneceu a seguinte integral,

I = int e^(sqrt(2) x) d x

Repara que o nosso expoente é sqrt(2) x , logo temos que a nossa constante é a = sqrt(2) .

Substituindo na solução encontrada no passo 1, temos,

I = int e^(sqrt(2) x) d x = (1)/(sqrt(2)) * e^(sqrt(2) x) + c

Podemos reescrever essa solução, tirando a raiz quadrada do denominador! A gente faz isso multiplicando sqrt(2) em cima e embaixo, então temos que a nossa integral é

I = int e^(sqrt(2) x) d x = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I^' = ((sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c)^' = (sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) * ( sqrt(2) ) = e^(sqrt(2) x)

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

(sqrt(2))/(2) * e^(sqrt(2) x) + c

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Expresse o limite como uma integral definida. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 4 n 5
Encontre ∫ 1 2 x - 2 d x . Sugestão: Escolha x i * como a média geométrica de x i - 1 e x i (isto é, x i * = x i - 1 x i ) e use a identidade 1 m m + 1 = 1 m - 1 m + 1
Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]
Use as propriedades das integrais, junto com os exercícios 27 e 28 , para demonstrar a desigualdade. ∫ 1 3 x 4 + 1d x ≥ 26 3
Use a Propriedade 8 para estimar o valor da integral. ∫ π 4 π 3 tg ⁡ xd x