n)   ∫ e 2 x d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I =   ∫ e 2 x d x

Não esquece: ∫ e x d x = e x + c  

Também é bom lembrarmos essa derivada e a x ' = a e a x

Juntando as duas informações,

∫ e a x d x = e x a + c

Onde, a   é uma constante qualquer.

Passo 2

Resolvendo! O enunciado nos forneceu a seguinte integral,

I = ∫ e 2 x d x

Repara que o nosso expoente é 2 x , logo temos que a nossa constante é a = 2 .

Substituindo na solução encontrada no passo 1, temos,

I = ∫ e 2 x d x = 1 2 ⋅ e 2 x + c

Podemos reescrever essa solução, tirando a raiz quadrada do denominador! A gente faz isso multiplicando 2 em cima e embaixo, então temos que a nossa integral é

I = ∫ e 2 x d x = 2 2 ⋅ e 2 x + c

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = 2 2   ⋅ e 2 x + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I ' = 2 2   ⋅ e 2 x + c ' = 2 2   ⋅ e 2 x ⋅ ( 2 ) = e 2   x

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

2 2   ⋅ e 2 x + c

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