Enunciado

Seja f 0 = 0 e f x = 1 x se 0 < x ≤ 1 . Mostre que f não é integrável em 0,1 . [Sugestão: mostre que o primeiro termo na soma de Riemann, f x i * Δ x , pode ser tornado arbitrariamente grande.]

Passo 1

Para dizermos que f é integrável em 0,1 ou seja, existe ∫ 0 1 f x d x , se existir o limite da soma de R i e m a n n que é dado por:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Passo 2

Como

∑ i = 1 n f 1 n 1 n   = 1 n   ∑ i = 1 n f i n   = 1 n ∑ i = 1 n n i = ∑ i = 1 n 1 i = 1 1 + 1 2 + 1 3 + … + 1 n

Como n vai para o infinito, temos uma soma de infinitos termos maiores que zero, que não converge para nenhum valor definido, ou seja, a integral não existe e por tanto, f não é integrável em 0,1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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