l) ∫ x + 1 x d x

Passo 1

Vamos começar lembrando uma daquelas propriedades da integral:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

Portanto,

∫ x + 1 x d x = ∫ x d x + ∫ 1 x d x

Agora simmmm !!!! Eu acho que a gente sabe resolver isso aí. Vem comigo que vai dar bom.

Passo 2

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente e depois adicionar uma constante K.

∫ x d x = x 2 2

Para resolver a segunda integral, a gente não pode simplesmente aplicar aquela fórmula para polinômios. Lembra da nossa restrição: α ≠ - 1 . E agora???

Você vai puxar na sua memória e lembrar que

d l x x d x = 1 x

Portanto,

∫ 1 x d x = l n x

Mas você deve estar aí se perguntando: “por que módulo?”

Vem comigo, que eu te mostro. Vamos derivar l n x e ver o que acontece.

Se x ≥ 0 , temos que x = x

d l n x d x = d l n x d x = 1 x

Se x < 0 , temos que x = - x . Portanto,

d l n x d x = d l n - x d x = 1 - x - 1 = 1 x

Nos dois casos, a derivada de l n ⁡ ( x ) é igual e não depende do sinal de x . Isso significa que podemos calcular a derivada do seu valor absoluto. Ou seja, é como se considerássemos apenas o caso x ≥ 0 , porque no final dá na mesma.

Resposta

∫ x + 1 x d x = x 2 2 + l n x + k

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