Enunciado

l) int (x + (1)/(x)) d x

Passo 1

Vamos começar lembrando uma daquelas propriedades da integral:

int (f (x) + g (x)) d x = int f (x) d x + int g (x) d x

Portanto,

int (x + (1)/(x)) d x = int x d x + int (1)/(x) d x

Agora simmmm !!!! Eu acho que a gente sabe resolver isso aí. Vem comigo que vai dar bom.

Passo 2

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente e depois adicionar uma constante K.

int x d x = (x^2)/(2)

Para resolver a segunda integral, a gente não pode simplesmente aplicar aquela fórmula para polinômios. Lembra da nossa restrição: alpha != - 1 . E agora???

Você vai puxar na sua memória e lembrar que

(d l x (x))/(d x) = (1)/(x)

Portanto,

int (1)/(x) d x = l n |x|

Mas você deve estar aí se perguntando: “por que módulo?”

Vem comigo, que eu te mostro. Vamos derivar l n |x| e ver o que acontece.

Se x >= 0 , temos que |x| = x

(d l n |x|)/(d x) = (d l n (x))/(d x) = (1)/(x)

Se x < 0 , temos que |x| = - x . Portanto,

(d l n |x|)/(d x) = (d l n (- x))/(d x) = (1)/(- x) (- 1) = (1)/(x)

Nos dois casos, a derivada de l n ( x ) é igual e não depende do sinal de x . Isso significa que podemos calcular a derivada do seu valor absoluto. Ou seja, é como se considerássemos apenas o caso x >= 0 , porque no final dá na mesma.

Resposta

int (x + (1)/(x)) d x = (x^2)/(2) + l n |x| + k

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