Enunciado

Mostre que as curvas y = e - x e y = - e - x tocam a curva y = e - x sen ⁡ x em seu ponto de inflexão.

Passo 1

Para achar o ponto de inflexão devemos achar a segunda derivada e igualar a zero, vamos lá!!

Para achar a primeira derivada vamos usar as regras da derivada da função exponencial, da cadeira, do polinômio e da função trigonométrica:

e f x ' = e f x . f ' ( x )

F ' x = f ' g x . g ' x

x n ' = n x n - 1

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 2

Vamos agora encontrar a primeira derivada vamos usar também a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Então vamos lá:

y ' = e - x sen ⁡ x ' = e - x ' sen ⁡ x + sen ⁡ x ' . e - x = e - x . - x ' . sen ⁡ x + cos ⁡ x . e - x = e - x . - x 1 - 1 . sen ⁡ x + e - x cos ⁡ x = e - x . - 1 . sen ⁡ x + e - x cos ⁡ x = - e - x sen ⁡ x + e - x cos ⁡ x = e - x cos ⁡ x - sen ⁡ x

Passo 3

Vamos agora para a segunda derivada:

y ' ' = e - x cos ⁡ x - sen ⁡ x ' = e - x ' cos ⁡ x - sen ⁡ x + cos ⁡ x - sen ⁡ x ' e - x = e - x . - x ' . cos ⁡ x - sen ⁡ x + - sen ⁡ x - cos ⁡ x e - x = e - x . - x 1 - 1 . cos ⁡ x - sen ⁡ x + e - x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = e - x . - 1 . cos ⁡ x - sen ⁡ x + e - x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = - e - x cos ⁡ x - sen ⁡ x + e - x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = e - x - cos ⁡ x + sen ⁡ x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = e - x - 2 cos ⁡ x

y ' ' = e - x - 2 cos ⁡ x = 0 → cos ⁡ x = 0 → x = π 2 + n π

Assim, são nos valores x = π 2 + n π que há ponto de inflexão, substituindo esse valor na função temos:

y = e - x sen ⁡ π 2 + n π =   e - x . ± 1

Assim, y = e - x sen ⁡ x intercepta as outras curvas em seus pontos de inflexão.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é ponto de inflexão oblíquo de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f .
Sejam f uma função derivável até a 5 ª ª ordem no intervalo aberto I e p ∈ I . Suponha f ( 5 ) contínua em p . Prove que f ' ' p = f ' ' ' p = f 4 p = 0 e f 5 p ≠ 0 é uma condição suficiente para p se
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.a) f x = x 3 - 3 x 2 - 9 x
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.m) y = x 3 1 + x 2
Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior.o) f x = x ln ⁡ x