Enunciado

a) Verifique que

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   ) + k  

Com x ∈ - π 2   ,     π 2  

Passo 1

Pra resolver essa integral, a gente vai ter que manipular a expressão de modo que a gente consiga fazer uma substituição simples, beleza?

Só lembrando algumas derivadas:

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

sec ⁡ x ' = tan ⁡ x sec ⁡ x

Então, vamos começar multiplicando e dividindo pelo mesmo termo, pois assim não alteramos o valor da integral, mas isso vai facilitar muito nosso cálculo.

Nesse caso, vamos multiplicar por tan ⁡ x + sec ⁡ x . Assim,

∫ sec ⁡ x   d x =   ∫ sec ⁡ x   tan ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x

Fazendo a distributiva

∫ sec ⁡ x   tan ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x =   ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x

Parece que ficou mais complicado, mas agora conseguimos fazer uma substituição simples!

Passo 2

Agora nós temos essa integral para resolver:

∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x

Perceba que se nós derivarmos o denominador, teremos um valor igual ao do numerador.

Então, vamos chamar o denominador de m e derivar!

m = tan ⁡ x + sec ⁡ x

Derivando m   com relação a x , temos:

d m d x = sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x ⟹ d m = sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x d x  

Agora é só montar a integral,

∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x = ∫ 1 m d m

Integrando ficamos com,

∫ 1 m d m = ln ⁡ m

Como m = tan ⁡ x + sec ⁡ x , temos,

∫ sec ⁡ x   d x = ∫ sec ⁡ x tan ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sec ⁡ x d x = ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x + C

Passo 3

Lembrando que o módulo presente no Logaritmo é por conta do domínio dessa função apenas assumir valores não nulos e positivos. Vamos observar bem, no nosso caso, para ver se precisamos utilizar o módulo. Lembrando que x ∈ - π 2   ,     π 2  

Dentro do logaritmo temos o termo tan ⁡ x + sec ⁡ x .   Vamos arrumar esse termo; lembrando que tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x e sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x . Logo,

tan ⁡ x + sec ⁡ x =   sin ⁡ x cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x = sin ⁡ x + 1 cos ⁡ x    

Como x ∈ - π 2   ,     π 2   . Temos que para esse intervalo, - 1 < sin ⁡ x < 1 e que 0 < cos ⁡ x < 1 . Ou seja, como a função seno é maior que menos um para esse intervalo, o numerador será maior que zero sempre. Além disso, o denominador também sempre será maior que zero, já que a função cosseno é maior que zero para esse intervalo. Com isso, temos que o valor dentro do logaritmo sempre será maior que zero. Dessa forma, podemos tirar o módulo. Assim,

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   ) + k  

Para x ∈ - π 2   ,     π 2   .

Resposta

∫ sec ⁡ x   d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x   ) + k  

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