Enunciado

2. Uma partícula desloca no plano com equações paramétricas x = x ( t ) e y = y ( t ) . Sabe-se que, para todo t , d x d t = 2 ( c m / s ) , d 2 y d t 2 = - 2 ( c m / s 2 ) e d y d t t = 0 = 4 ( c m / s ) . Sabe-se ainda que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição ( 0,0 ) . Determine a distância percorrida pela partícula entre os instantes t = 0 e t = T , onde T é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo x . Como é a trajetória descrita pela partícula?

Passo 1

Vamos pensar um pouco em física nessa questão.

d x d t é a velocidade no eixo x , como d x d t = 2 ( c m / s ) não depende de t , a velocidade em x é constante e a partícula está na origem, logo a equação da posição da partícula em x , é:

x ( t ) = 2 t

Agora vamos para o eixo y , temos um certo problema, pois d 2 y d t 2 é a aceleração da partícula, então a velocidade não é constante, é um movimento com aceleração negativa e constante.

Beleza, já temos a aceleração e a velocidade? Foi dada a do início, e d y d t t = 0 = 4 ( c m / s ) . Isso é um movimento retardado com a fórmula:

s = s o + v o t + a t 2 2

Temos as seguintes informações:

s o = 0 v o = d y d t t = 0 = 4 a = d 2 y d t 2 = - 2

Então, substituindo na fórmula:

s = y ( t ) = 4 t - 2 t 2 2

y t = 4 t - t ²

Passo 2

Vamos partir para sabermos que T , que ele fala no enunciado, significa.

T é o tempo em que a partícula toca o eixo x , portanto y ( t ) = 0 . Vamos calcular esse T .

y t = 4 t - t ²

y T = 0 = 4 T - T 2

T . 4 - T = 0

T = 0 s   o u   T = 4 s

Não vamos usar a solução T = 0 pois não é viável ok?

Pronto, a física acaba aqui!! Não sei se isso é bom ou ruim, mas vamos para o cálculo agora! d é a distância percorrida!

d = ∫ b a d x d t 2 + d y d t 2 d t

Temos as informações:

d x d t = 2 c m s                                     d y d t = 4 t - t 2 ' = 4 - 2 t

d = ∫ 0 4 2 2 + 4 - 2 t 2 d t

d = ∫ 0 4 4 + 16 - 16 t + 4 t 2 d t

d = ∫ 0 4 20 - 16 t + 4 t 2 d t

d = ∫ 0 4 4 ( 5 - 4 t + t 2 ) d t

Tirando a raiz quadrada de 4 para fora da integral, temos:

d = 2 ∫ 0 4 ( 5 - 4 t + t 2 ) d t

Vamos reescrever 5 - 4 t + t 2 como:

1 + ( t - 2 ) 2

Substituindo na integral, temos:

d = 2 ∫ 0 4 1 + ( t - 2 ) 2 d t

Passo 3

Chegamos a parte de fazer o cálculo dessa integral:

d = 2 ∫ 0 4 1 + ( t - 2 ) 2 d t

Vamos substituir u = t - 2 → t = u + 2 → d t = d u , e dessa forma nossos limites de integração novos serão:

u = 0 - 2 = - 2

u = 4 - 2 = 2

d = 2 ∫ - 2 2 1 + ( u ) 2 d u

Epa, mas ainda ta uma integral meio esquisita né? Então vamos substituir u = tan ⁡ v → d u = s e c 2 v d v , e aí nossos limites de integração vão ser:

2 = tan ⁡ v → a r c t g ( 2 )

- 2 = tan ⁡ v → v = a r c t g - 2 = - a r c t g ( 2 )

d = 2 ∫ - a r c t g ( 2 ) a r c t g ( 2 ) 1 + tan ⁡ v 2 . s e c 2 v   d v

Beleza, mas sabemos que 1 + ( t a n ⁡ ( v ) ) 2 = s e c ² ( v ) , então:

d = 2 ∫ - a r c t g ( 2 ) a r c t g ( 2 ) s e c ² ( v )   s e c ² ( v ) d v

d = 2 ∫ - a r c t g ( 2 ) a r c t g ( 2 ) s e c ³ ⁡ ( v ) d v

Que coisa, por fim temos a integral da secante ao cubo hehe bora resolver!!

Passo 4

Temos

d = 2 ∫ - a r c t g ( 2 ) a r c t g ( 2 ) s e c ³ ⁡ ( v ) d v

Primeiro vamos calcular sua integral indefinida e aí depois colocamos os limites de integração, poder ser?

d = 2 ∫ s e c 3 v d v

Aplicando a redução de integrais, temos ∫ s e c n x d x = sec n - 1 ⁡ x . s e n x n - 1 + n - 2 n - 1 . ∫ s e c n - 2 x d x

Então:

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 sec 2 ⁡ v . s e n v 2 + 1 2 . ∫ s e c 1 v d v

E sabemos que ∫ s e c x d x = ln ⁡ | tan ⁡ x + s e c ⁡ ( x ) | :

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 . sec 2 ⁡ v . s e n v 2 + 1 2 . ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x

Passo 5

Temos

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 sec 2 ⁡ v . s e n v 2 + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2

Sabemos que sec 2 ⁡ v . s e n v = sec ⁡ x . t a n ( x ) :

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 sec ⁡ v . t a n v 2 + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2

Agora vamos aplicar os limites de integração:

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 sec ⁡ v . t a n v 2 + ln ⁡ tan ⁡ x + sec ⁡ x 2 - a r c t g ( 2 ) a r c t g ( 2 )

2 ∫ s e c 3 v d v = 2 5 + 1 2 ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2

E esse é o valor da nossa integral e consequentemente, o nosso d :D

Resposta

d = 2 5 + 1 2 ln ⁡ 5 + 2 - ln ⁡ 5 - 2

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