Enunciado

Há um fluxo de água para dentro e para fora de um tanque de armazenamento. A seguir, temos um gráfico que mostra a taxa de troca r t do volume de água no tanque, em litros por dia. Se a quantidade de água no tanque no instante de tempo t = 0 é 25   000 litros, use a Regra do Ponto Médio para estimar a quantidade de água depois de quatro dias.

Passo 1

Vamos lá, pelo Teorema da Variação Total temos :

∫ a b F ' x d x = F b - F a

Veja bem, a questão pede a quantidade de água depois de quatro dias, então nossos limites de integração são 0 e 4 :

∫ 0 4 r t d t = V 4 - V 0 → V 4 = V 0 + ∫ 0 4 r t d t = 25000 + ∫ 0 4 r t d t

Passo 2

Temos como calcular a integral pela Regra do Ponto Médio:

∫ a b f x d x ≈ ∆ x f x - 1 + ∙ ∙ ∙ + f x - n

Com o intervalo 0 ≤ t ≤ 4 , e vamos usar n = 4 , temos que ∆ x :

∆ x = b - a n = 4 - 0 4 = 1

E substituindo os pontos médios de cada intervalo temos:

∫ 0 4 r t d t ≈ 1 ∙ r 0,5 + r 1,5 + r 2,5 + r 3,5 = 1500 + 1770 + 740 + - 690 = 28320

Resposta

A estimativa da quantidade de água depois de quatro dias é de 28   320 litros.

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