Enunciado

As fronteiras da região sombreada são o eixo y , a reta y = 1 e a curva y = x 4 . Ache a área dessa região escrevendo x como uma função de y e integrando em relação a y (como no Exercício 4 9 ).

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos calcular a área da seguinte região hachurada:

Para isso, devemos calcular a integral da curva da direita y = x 4 menos a da esquerda y = 1 , integrando em relação a y , e usar os limites de integração de 0 a 1 , como dá pra ver no gráfico.

E aí?? Bora lá?? 😉

Obs: a gente também poderia integrar em relação a x (aí seria a curva de cima menos a de baixo), mas o enunciado pediu em relação a y 😉

Passo 2

Vamos calcular a área A da região que está à direita da reta x = 0 e à esquerda da curva y = x 4 , para isso precisamos colocar a curva em função de y , assim fica x = y 4 :

A = ∫ 0 1 y 4 - 0   d y = ∫ 0 1 y 4   d y

Vamos primeiro calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ y 4     d y

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ u d x = u n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, simples:

∫ y 4 d y = y 4 + 1 4 + 1 = y 5 5 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

A = ∫ 0 1 y 4   d y ∴

A = y 5 5 0 1 ∴

A = 1 5 5 - 0 5 5 ∴

A = 1 5

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

A = ∫ 0 1 y 4   d y = 1 5

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Determine a área entre a curva y = 2 1 - x e o intervalo - 1 ≤ x ≤ 1 do eixo x .
Determine a área das regiões compreendidas entre x = 3 s e n y c o sy e x = 0 ,0 ≤ y ≤ π 2
Determine a área da região entre a curva y = 3 - x 2 e a reta y = - 1 . Em relação a y
Determine a área das regiões compreendidas entre y = s e c π x 3 2 e y = x 1 3 , - 1 ≤ x ≤ 1
Determine a área entre a curva y = t g x e o eixo x de x = - π 4 até x = π 3 .