Enunciado

Use a) a regra do trapézio, b) a regra do ponto médio, e c) a regra de Simpson para aproximar a a integral dada com os valores dados de n . (Aproxime sua resposta para seis casas decimais.)

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 1 3 sen ⁡ t t d t ,     n = 4

Antes de começar o exercício, vamos determinar qual será o tamanho do intervalo em análise:

Δ t = 3 - 1 4 → Δ t = 0,5

Vamos começar o exercício calculando a integral pela regra do trapézio, mas antes, vamos nos lembrar como é essa fórmula:

∫ a b f x d x ≅ T n = Δ x 2 f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + … + 2 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n ,     x i = a + i Δ x

Então, nesse exercício, aplicando a fórmula do trapézio, temos:

T 4 = 0,5 2 f 1 + 2 f 1,5 + 2 f 2 + 2 f 2,5 + f 3

Então, calculando os termos nos pontos de interesse:

f 1 = 0,8415 ; f 1,5 = 0,6650 ; f 2 = 0,4546 ; f 2,5 = 0,2394 ; f 3 = 0,0470 ;

Então, substituindo esses valores na equação anterior, o resultado será:

T 4 = 0 , 901644

Passo 2

Agora, na letra b), vamos utilizar a regra do ponto médio para estimar o valor da integral, para isso, vamos lembrar como é a fórmula do ponto médio:

∫ a b f x d x ≅ M n = Δ x f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n

Onde:

Δ x = b - a n ,     x - i = 1 2 x i - 1 + x i

Então, para o nosso caso, a fórmula se torna:

M 4 = 1 2 f 1,2 5 + f 1,7 5 + f 2 , 25 + f 2,7 5

Então, precisamos calcular o valor da função nesses pontos, realizando os cálculos, temos:

f 1,2 5 = 0,7592 ; f 1,7 5 = 0,5623 ; f 2 , 25 = 0,3458 ; f 2,7 5 = 0,1388 ;

Então, substituindo esses valores na equação de cima e fazendo os cálculos, temos:

M 4 = 0,903033

Passo 3

Agora, por último, vamos aproximar a integral pela regra de Simpson. Relembrando rapidinho a fórmula, temos:

∫ a b f x d x ≅ S n = Δ x 3 f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n

Onde nós temos:

Δ x = b - a n

Então, subsituindo os valores na fórmula, temos:

S 4 = 0,5 2 f 1 + 4 f 1,5 + 2 f 2 + 4 f 2,5 + f 3

Pra nossa sorte, esses são os mesmos valores para a função que calculamos no passo 1, onde temos:

f 1 = 0,8415 ; f 1,5 = 0,6650 ; f 2 = 0,4546 ; f 2,5 = 0,2394 ; f 3 = 0,0470 ;

Então, substituindo esses valores na fórmula anterior:

S 4 = 0 , 902556

Resposta

T 4 = 0,901644

M 4 = 0,903033

S 4 = 0,902556

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de como um limite. Não calcule o limite. f x = x 4 ,1 ≤ x ≤ 16
Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n π 4 n t gπ i 4 n
Seja A n a área de um polígono com lados iguais inscrito num círculo com raio r. Dividindo o polígono em triângulos congruentes com ângulo central de 2 π n , mostre que: A n = 1 2 n r ² . s e n2 π n ²
Se A é a área sob a curva y = e x de 1 a 3 , use o Exercício 25 para encontrar um valor de n tal que R n - A0,0001 .
(a) Use a Regra do Trapézio e os dados a seguir para estimar o valor da integral. ∫ 1 5 f ( x ) d x (b) Se soubermos que - 2≤f ' ' ( x ) ≤ 3 para todo x, estime o erro envolvido na aproximação na part