Enunciado

Resolva o Exercício 34 considerando a hipótese de que o ângulo entre as duas trajetórias de voo seja de 120 ° em vez de perpendicular. [Sugestão: Use a lei dos cossenos.]

Passo 1

Pera, vamos ver como ficaria com esse ângulo de 120 ° :

Para um instante qualquer, vamos chamar de D   a distância entre o míssil e o avião, de x a distância entre o avião e o ponto P e de de y a distância entre o míssil e o ponto P .

Pela Lei de Cossenos, podemos falar que:

D 2 = x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ 120 °  

Podemos derivar em relação ao tempo essa expressão pra relacionar as taxas de variação desses caras:

d d t ( D 2 ) = d d t ( x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ 120 ° )  

Como o ângulo não está variando, podemos tirar da derivada:

d D 2 d t = d x 2 d t + d y 2 d t - 2 cos ⁡ 120 ° d x y d t

Pela regra da derivada do produto e usando que cos ⁡ 120 ° =   - 1 2   :

d D 2 d t = d x 2 d t + d y 2 d t   - 2 - 1 2   d x d t   y + x d y d t

Pela Regra da Cadeia:

2 D   d D d t =   2 x   d x d t + 2 y   d y d t + d x d t   y + x d y d t

Vamos organizar melhor isso né:

2 D   d D d t = d x d t 2 x + y + d y d t 2 y + x                                     e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

O enunciado nos diz que o avião está voando com uma velocidade constante de 600   k m / h . Daí podemos tirar que

d x d t =   - 600 k m / h

Lembrando que como o avião se aproxima do ponto P , a distância x está DIMIUINDO, por isso o sinal de menos.

Além disso o míssil está voando a 1.200   k m / h , ou seja:

d y d t =   - 1200   k m / h

O sinal negativo pelo mesmo motivo do anterior.

Passo 3

No instante desejado o avião está a 2   k m do ponto de impacto, o míssil está a 4   k m dele. Então x = 2 k m e y = 4 k m . A partir disso conseguimos achar o valor de D :

D 2 = x 2 + y 2 - 2 x y cos ⁡ 120 °  

D 2 = 2 2 + 4 2 - 2 2 4 - 1 2  

D 2 = 28                 ⇒               D = 2 7   k m

Substituindo todos esses dados na equação (1):

2 D   d D d t = d x d t 2 x + y + d y d t 2 y + x

2 2 7 d D d t = - 600 2 2 + 4 + - 1200 2 4 + 2

4 7 d D d t = ( - 600 ) 8 + ( - 1200 ) 10

7 d D d t = ( - 600 ) 2 + ( - 3 00 ) 10

7 d D d t = - 1200 - 300 0 =   - 4200

d D d t = - 600 7   k m / h

Repare que encontramos um d D d t < 0 , o que faz bastante sentido uma vez que a distância entre o avião e o míssil está diminuindo 😊

Resposta

d D d t = - 600 7   k m / h

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