Enunciado

A equação das lentes finas em Física é:

1 s + 1 S = 1 f

onde s   é a distância do objeto à lente, S é a distância da imagem à lente e f é a distância focal da lente. Suponha que uma certa lente tenha um comprimento focal de 6   c m e que um objeto se move em direção a ela a uma taxa de 2   c m / s . Com que rapidez estará variando a distância da imagem no instante em que o objeto estiver a 10   c m da lente? A imagem estará se afastando ou se aproximando da lente?

Passo 1

Já que estamos interessados em relacionar as velocidades de objeto e imagem, parece uma boa ideia derivar essa equação em relação ao tempo né? Fazendo isso fica assim:

d d t 1 s + 1 S = d d t 1 f

Mas f é a distância focal, que não se altera. Como derivada de constante é zero, temos que:

d d t 1 s + d d t 1 S = 0

Pela Regra da Cadeia:

- 1 s 2 d s d t + - 1 S 2 d S d t = 0

1 s 2 d s d t + 1 S 2 d S d t = 0                                 e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 2

Como o enunciado nos diz que comprimento focal de 6   c m , então f = 6 c m

Além disso o objeto se move em direção a lente a uma taxa de 2   c m / s . Vamos chegar que:

d s d t =   - 2   c m / s

Lembrando de atentar pro sinal negativo, pois se está se movendo em direção a lente, a distância está DIMINUINDO.

E queremos saber com que rapidez estará variando a distância da imagem, ou seja, estamos interessados no d S / d t .

Passo 3

Mas se quisermos usar aquela equação que achamos vamos precisar descobrir o valor de S naquele instante. pra isso vamos usar que:

1 s + 1 S = 1 f

E também vamos usar s = 10 c m , pois o objeto está a 10   c m da lente e f = 6 c m

1 s + 1 S = 1 f

1 10 + 1 S = 1 6

1 S = 1 6 - 1 10 = 4 60 = 1 15

S = 15 c m

Passo 4

Agoooora sim substituindo todos esses dados que temos na equação (1):

1 s 2 d s d t + 1 S 2 d S d t = 0    

1 10 2 ( - 2 ) + 1 15 2 d S d t = 0

- 2 100 + 1 225 d S d t = 0

1 225 d S d t = 2 100 = 1 50

1 9 d S d t = 1 2

Então chegamos que:

d S d t = 9 2 c m s = 4,5   c m / s

Como d S s t > 0 ,   a imagem está se afastando da lente.

Resposta

4,5   c m / s ; afastando

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