Enunciado

Um varejista está vendendo 1200 tablets por semana a US $ 350 cada. O departamento de marketing estima que 80 tablets adicionais sejam vendidos a cada semana por cada US $ 10 que o preço for reduzido.

(a) Encontre a função preço.

(b) Qual deve ser o preço estabelecido para maximizar a receita?

(C) Se a função custo semanal do varejista é

C x = 35000 + 120 x

Qual preço deve ser escolhido para maximizar seus lucros.

Passo 1

Bom pessoal, este exercício é muito parecido com o Exemplo 6 do livro. Antes de resolver, vale a pena dar uma olhada nele.

Beleza! Vamos ao exercício.

(a) Seja a função preço p x = A x + B . Quando são vendidos 1200 tablets, p 1200 = 350 . Caso seja reduzido $10 o preço, então serão vendidos 1280 tables, p 1280 = 340 . Então:

350 = A 1200 + B

340 = A 1280 + B

A = - 1 8 → B = 500

A função é dada então por:

p x = - 1 8 x + 500

Passo 2

(b) A receita é o produto do preço pela quantidade de tablets vendidos. Então:

R x = x   p ( x )

R x = - 1 8 x 2 + 500 x

O valor crítico de R x pode ser encontrado a partir da derivada desta função:

R ' x = 0

- 1 4 x + 500 = 0

x = 2000   t a b l e t s

Agora, devemos calcular o preço que esses 2000 tablets serão vendidos. Para isto, vamos usar a equação encontrada na letra (a):

p 2000 = - 1 8 2000 + 500

p 2000 = 250

Logo, para maximizar a receita, os tablets devem ser vendidos a $250.

Passo 3

(c) A função custo vale:

C x = 35000 + 120 x

A função lucro P ( x ) vai ser a diferença da receita e do custo:

P x = R x - C x

P x = - 1 8 x 2 + 500 x - 35000 - 120 x

P x = - 1 8 x 2 + 380 x - 35000

Para encontrar o valor critico de P ( x ) , devemos calcular o valor de x para que sua derivada seja zero:

P ' x = 0 = - 1 4 x + 380

x = 1520   t a b l e t s

Então o lucro será de:

P 1520 = 25380

Os tablets deverão ser vendidos pelo seguinte preço:

p 1520 = - 1 8 1520 + 500

p 1520 = 310

Resposta

a) p x = - 1 8 x + 500

b) p 2000 = 250

c) p 1520 = 310

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