Enunciado

36. A quantidade demandada para um certo produto A está relacionado em reais, por p = 10 - 2 x e a quantidade x (em unidades) que o fornecedor está disposto a colocar no mercado está relacionada ao preço unitário p por p = 3 2 x + 1 . Se o preço de mercado for igual ao preço de equilíbrio, determine o excedente de consumo e o excedente de produção.

Passo 1

Vou apresentar as duas fórmulas de excedente de consumo e produção.

Vamos começar com a fórmula de excedente de consumo.

C S = ∫ 0 x - f x - p - d x

E agora a fórmula de excedente de produção.

P S = ∫ 0 x - p - - g ( x ) d x

Passo 2

Antes de fazermos qualquer descrição dos termos, vamos determinar o preço de mercado para ambas as fórmulas!

Como faríamos isso???

Ora, o preço de equilíbrio é igual ao de mercado, devemos achar o de equilíbrio então!! E faremos isso igualando a função da oferta e da demanda.

10 - 2 x = 3 2 x + 1

9 = 2 x + 3 2 x

9 = 7 x 2

x = 18 7 ~ 2,57

Para descobrirmos o preço de equilíbrio, temos que substituir x = 2,57 em alguma dessas equações!

p - = 10 - 2 2,57 = 10 - 5,14 = 4,86

Passo 3

Agora, vou fazer a integral! Começaremos pelo excedente de consumo, em que f ( x ) é a função demanda, p - é preço que achamos anteriormente e x - o valor da demanda, que achamos anteriormente também!

C S = ∫ 0 x - f x - p - d x = ∫ 0 2,57 10 - 2 x - 4,86 d x = ∫ 0 2,57 5,14 - 2 x d x = 5,14 x - 2 x 2 2 2,57 0

= 5,14 × 2,57 - 2,57 2 = R $   6,61

Agora faremos o excedente de produção!!

P S = ∫ 0 x - p - - g ( x ) d x = ∫ 0 2,57 4,86 - 3 2 x - 1 d x = ∫ 0 2,57 3 , 86 - 3 2 x d x = 3,86 x - 3 2 x 2 2 2,57 0 = 3,86 × 2,57 - 3 4 2,57 2 = R $   4,96

Resposta

C S = R $   6,61

P S = R $   4,96

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