Enunciado

Um homem começa a andar para o norte a 4 pés/s a partir de um ponto P. Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 5 pés/s de um ponto a 500 pés a leste de P. A que taxa as pessoas estão se separando 15 minutos depois de a mulher começar a andar?

Passo 1

Opa, bora lá! Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos diz que tem duas pessoas, um carinha que sai andando para o norte a partir de um ponto P, e uma mulher que anda para o sul a partir de um ponto a 500 pés de P 5 minutos depois que o homem já estava andando, e nos pede a variação da distância entre eles 15 minutos depois da moça começar a caminhar.

Viu, nem é tão difícil assim. Eaii, partiu??

Passo 2

Nosso primeiro passo vai ser definir as nossas variáveis do problema.

Com relação à velocidade, temos que:

d x d t = 4   p é s / h

d y d t = 5   p é s / h

Bom, como sabemos as velocidades de cada um deles, queremos saber a relação da distância (podemos dizer que é a variação da nossa hipotenusa, uma vez que teremos um dos catetos equivalendo à soma das velocidades e o outro cateto sendo a distância entre os pontos de partida) a partir de 15 minutos, vamos ter a seguinte variação para achar:

d z d t

Passo 3

Já vimos que é um triângulo retângulo, então nos resta aplicar Pitágoras e a derivada direta.

z 2 = ( x + y ) 2 + 500 2

2 z . d z d t = 2 ( x + y ) . d y d t + d x d t

Para 15 minutos depois que ela começa a andar, temos:

x = 4800   p é s

y = 4500   p é s

z = 86740000

Logo:

d z d t = x + y z   d x d t + d y d t

d z d t = 4800 + 4500 86740000 4 + 5 = 8,99 p é s / s

Prontinho!

Resposta

d z d t = 8,99 p é s / s

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