Enunciado

Homeostase refere-se a um estado em que o teor de nutrientes de um consumidor é independente do teor de nutrientes de seu alimento. Na ausência de homeostase, um modelo sugerido por Sterner e Elser é dado por

d y d x = 1 θ y x  

Onde x e y representam o teor de nutrientes do alimento e do consumidor, respectivamente, e θ é uma constante com θ ≥ 1 .

(a) Resolva a equação diferencial.

(b) O que acontece quando θ = 1 ? O que acontece quando θ → ∞ ?

Passo 1

Temos de acordo com o enunciado:

d y d x = 1 θ y x  

Reorganizando os termos podemos escrever:

d y y = 1 θ d x x

Passo 2

Integrando ambos os lados da expressão encontrada no passo 1, temos:

l n y = 1 θ l n x + C

Aplicando o exponencial em ambos os membros temos:

y = exp ⁡ 1 θ l n x + c = exp ⁡ l n x 1 θ e x p ⁡ ( c )

Fazendo α ≡ e x p ⁡ ( c ) , temos:

y = α x 1 θ

Passo 3

Do passo 3, fazendo θ = 1 , temos:

y = α x

Ou seja, a relação entre as variáveis é linear. Quando fazemos θ ficar grande, temos

y = α x 0 = α

Ou seja, é constante.

Resposta

Resolvendo a equação diferencial fornecida temos y = α x 1 θ , onde α ≡ e x p ⁡ ( c ) .

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