Enunciado

Sensibilidade do carbono-14 para datação de fósseis. Para avaliar o efeito de um erro relativamente pequeno na estimativa da quantidade de carbono-14 sobre a datação de uma

amostra, considere a seguinte situação hipotética:

a. Um osso fossilizado encontrado no centro de Illinois, no

ano 2.000 , tem 17 % de seu teor de carbono- 14 original. Estime

o ano em que o animal morreu.

b. Repita o item (a), considerando 18 % em vez de 17 % .

c. Repita o item (a), considerando 16 % em vez de 17 % .

Passo 1

Pelo modelo de decaimento radioativo, temos

c = c 0 e - k t

Por outro lado, sabemos que a meia vida do carbono 14 é aproximadamente 5.700 . Com isso,

k = ln ⁡ 2 m e i a - v i d a

k = ln ⁡ 2 5.700 ≈ 0,0001216

Dessa maneira,

c = c 0 e - ( 0,0001216 ) t

Passo 2

Desejamos determinar o ano aproximado em que o animal morreu, sabendo que ele continha 17 % do carbono   14 . Ou seja, qual valor t , quando c = 0,17 c 0   . Dessa maneira,

0,17 c 0 = c 0 e - ( 0,0001216 ) t

⇒ 0,17 = e - ( 0,0001216 ) t

⇒ l n ⁡ ( 0,17 ) = l n ⁡ ( e - ( 0,0001216 ) t )

- ( 0,0001216 ) t = l n ⁡ ( 0,17 )

⇒ t = ln ⁡ 0,17 - ( 0,0001216 ) ≈ 14.571,44

No entanto devemos lembrar que o fóssil foi encontrado no ano 2.000 , sendo assim devemos descontar essa tempo do valor de t encontrado, já que desejamos saber o ano da morte do animal. Com isso,

14.571 - 2.000 = 12.571

Logo, o animal morreu a aproximadamente 12.571 anos atrás.

Passo 3

Desejamos agora determinar o ano aproximado em que o animal morreu, sabendo que ele continha 18 % do carbono   14 . Ou seja, qual valor t , quando c = 0,18 c 0   . Dessa maneira,

0,18 c 0 = c 0 e - ( 0,0001216 ) t

⇒ 0,18 = e - ( 0,0001216 ) t

⇒ l n ⁡ ( 0,18 ) = l n ⁡ ( e - ( 0,0001216 ) t )

- ( 0,0001216 ) t = l n ⁡ ( 0,18 )

⇒ t = ln ⁡ 0,18 - 0,0001216 ≈ 14.101,41

No entanto devemos lembrar que o fóssil foi encontrado no ano 2.000 , sendo assim devemos descontar essa tempo do valor de t encontrado, já que desejamos saber o ano da morte do animal. Com isso,

14.101 - 2.000 = 12.101

Logo, o animal morreu a aproximadamente 12.101 anos atrás.

Passo 4

Queremos agora determinar o ano aproximado em que o animal morreu, sabendo que ele continha 16 % do carbono   14 . Ou seja, qual valor t , quando c = 0,16 c 0   . Dessa maneira,

0,16 c 0 = c 0 e - ( 0,0001216 ) t

⇒ 0,16 = e - ( 0,0001216 ) t

⇒ l n ⁡ ( 0,16 ) = l n ⁡ ( e - ( 0,0001216 ) t )

- ( 0,0001216 ) t = l n ⁡ ( 0,16 )

⇒ t = ln ⁡ 0,16 - 0,0001216 ≈ 15.070

No entanto devemos lembrar que o fóssil foi encontrado no ano 2.000 , sendo assim devemos descontar essa tempo do valor de t encontrado, já que desejamos saber o ano da morte do animal. Com isso,

15.070 - 2.000 = 13.070

Logo, o animal morreu a aproximadamente 13.070 anos atrás.

Resposta

Item a.

t ≈ 12.571

Item b.

t ≈ 12.101

Item c.

t ≈ 13.070

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