Enunciado

Identificar quais dos conjuntos seguintes são bolas abertas em R 2 ou R 3 , determinando, em caso positivo, o centro e o raio.

x 2 + y 2 + 2 x > x - 1 2 + y - 2 2

Passo 1

Vamos começar lembrando o que é essa tal “bola aberta”. É assim: sabe a circunferência? Aquela lá com essa equação:

x - x c 2 + y - y c 2 = r

Essa equação representa uma circunferência de centro no ponto x c ,   y c e raio r . Tá bom, mas o que é bola aberta? É tipo uma circunferência, mas em vez de a gente pegar a bordinha dela, a gente vai pegar tudo que tá na parte de dentro dela, sacou? Então a equação dela vai ser assim:

x - x c 2 + y - y c 2 < r

Ou então

x - x c 2 + y - y c 2 < r 2

Pegamos todos os pontos que têm uma distância até o centro da bola menor que o raio da circunferência, saca? E isso serve pro caso de termos coisas com z também, em que estaríamos tratando da parte interna de uma esfera, tipo assim:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 < r 2

Bom, então bora ver se a equação aqui serve nessa definição, seja pro R 2 ou pro R 3 .

Passo 2

A equação da questão é:

x 2 + y 2 + 2 x > x - 1 2 + y - 2 2

Beleza, vamos tentar deixar no formato do passo 1 . Elevando os quadrados:

x 2 + y 2 + 2 x > x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4

Desenvolvendo,

4 x + 4 y > 5

x + y > 5 4

Pra começar, não tem nenhum quadrado nessa equação, então nunca que isso vai se encaixar na definição de bola aberta, beleza?

Resposta

Não é bola aberta.

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Verificar se o conjunto A = x ,y ∈ R 2 x , y ∈ N tem ponto de acumulação.
Identificar as afirmações verdadeiras:j) Se A é um conjunto aberto, nenhum ponto da fronteira de A pertence a A .
Identificar as afirmações verdadeiras:i) Todos os pontos de um conjunto aberto A são pontos de acumulação de A .
Identificar as afirmações verdadeiras:a) A união de bolas abertas é um conjunto conexo.
Repetir o exercício 2 para o conjunto: B = x ,y ,z ∈ R 3 - 1x1 ;- 1y1 ;- 1z1 }