Enunciado

Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em R e tal que para todo x .

f ' ' x + x f ' x = 1

  1. Prove que f não admite ponto de máximo local.
  2. Prove que, se f admitir um ponto crítico x 0 , então x 0 será ponto de mínimo local.
  3. Prove que f poderá admitir no máximo um ponto crítico.

Passo 1

A primeira coisa que devemos lembrar é que para um ponto ser máximo local a sua primeira derivada tem que ser zero, portanto:

f ' p = 0 .

Substituindo o valor de x = p na equação f ' ' x + x f ' x = 1 :

f ' ' p + p f ' p = 1

f ' ' p + p ∙ 0 = 1

f ' ' p = 1

Portanto, p não poderá ser um máximo local.

Passo 2

O ponto crítico ocorre quando x zera a primeira derivada de f x :

f ' x 0 = 0

Substituindo na equação dada:

f ' ' x 0 + x 0 f ' x 0 = 1

f ' ' x 0 + x 0 ∙ 0 = 1

f ' ' x 0 = 1

Portanto, x 0 é um mínimo local, porque a segunda derivada é positiva.

Passo 3

Como foi visto nas letras a.) e b.), a função f x não possui máximo local, mas possui mínimo local. Então nesse caso, para termos dois pontos críticos precisaríamos ter dois mínimos locais, já que a função não aceita máximo local. Mas para termos dois mínimos locais precisamos obrigatoriamente ter pelo menos um máximo local, assim a funão f x aceita no máximo um ponto crítico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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