Enunciado

Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em R e tal que para todo x .

x f ' ' x + f ' x = 2

  1. Prove que, se x 0 for ponto de máximo local, então x 0 < 0 .
  2. Prove que, se x 0 for ponto de mínimo local, então x 0 > 0 .
  3. Prove que f ' x > 0 para todo x .

(Sugestão. Observe que f ' 0 = 2 )

Passo 1

Vemos a partir da equação que:

f ' 0 = 2

Portanto x = 0 não é ponto crítico. Assim, se x 0 é ponto de máximo local:

x 0 f ' ' x 0 + f ' x 0 = 2 → x 0 f ' ' x 0 = 2

f ' ' x 0 = 2 x 0

Para um ponto ser de máximo local f ' ' x < 0 :

2 x 0 < 0

Assim, para isso acontecer x 0 < 0 .

Passo 2

Olhando a letra a.), percebemos que para um ponto ser de mínimo local f ' ' x > 0 :

2 x 0 > 0 → x 0 > 0

Assim, x 0 > 0 para x 0 ser ponto de mínimo local.

Passo 3

Vamos supor que exista p tal que f ' p < 0 . Primeiro vamos supor que p < 0 . De f ' p < 0 e da continuidade de f ' , seguindo o teorema da conservação do sinal e que r > 0 , com p + r < 0 , tal que f ' x < 0 em [ p , p + r [ .

Assim, f é decrescente em [ p , p + r [ e, portanto, existe x 1 ∈ ] p , 0 [ , com f x 1 < f p . Como f ' 0 = 2 > 0 existe x 2 ∈ ] p , 0 [ , com f x 2 < f 0 . Assim, a função f x assumirá um mínimo local para x 0 < 0 , uma vez - ∞ < f ' x < 2 , que está em desacorodo com o item b.). Se fizermos a mesma coisa para um p tal que f ' p > 0 , também, não poderá ocorrer com p > 0 . Logo, f ' x > 0 , para todo x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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