Enunciado

Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

g) f x , y = x 2 + y 2   s e n   ( x 2 + y 2 )

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de f em relação a x e y :

∂ f ∂ x = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 x + s e n x 2 + y 2 ⋅ 2 x = 2 x x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 +   s e n x 2 + y 2

∂ f ∂ y = x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 ⋅ 2 y + s e n x 2 + y 2 ⋅ 2 y = 2 y x 2 + y 2 cos ⁡ x 2 + y 2 +   s e n x 2 + y 2

Como as derivadas parciais de f em relação a x e y são contínuas, f é diferenciável em R 2 .

Resposta

f é diferenciável em R 2 .

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Dada z = f ( x 2 + y 2 ) , f diferenciável, mostrar que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .c) x y z - x - y + x 2 = 3
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .a) x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z = 1
Determinar as derivadas parciais ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v . w = x 2 + 2 y 2 - z 2 ,x = 2 u v ,y = u + v ,z = u - v w = x y + x z + y z ,x = u 2 - v 2 ,y = u v ,z = u - v 2