Enunciado

Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada e encontre os vértices e os focos.

30. 4 x 2 + 4 x + y 2 = 0

Passo 1

Nessa questão, nos foi dada a equação de uma figura cônica, para identificarmos, encontrarmos seus vértices e focos.

Bom, a equação que ganhamos foi 4 x 2 + 4 x + y 2 = 0 , repare que temos x e y elevados ao quadrado, então temos uma equação de elipse ou hipérbole, e como o sinal entre eles é positivo, temos uma elipse, basta ajeitarmos um pouquinho a equação para deixar com uma cara mais parecida com a equação que conhecemos.

A equação geral de uma elipse é x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1 . Bom, vamos completar quadrado em x :

4 x 2 + 4 x + y 2 = 0

4 ( x 2 + x + 1 4 - 1 4 ) + y 2 = 0

4 x + 1 2 2 - 1 + y 2 = 0

4 x + 1 2 2 1 + y 2 1 = 1

x + 1 2 2 1 / 4 + y 2 1 = 1

Show! Agora nossa equação está bem bonitinha, com carinha de elipse com centro fora da origem.

Passo 2

A equação geral de uma elipse com centro fora da origem é x - x 0 2 b 2 + y - y 0 2 a 2 = 1 , a nossa é 4 x + 1 2 2 + y 2 = 1 , percebemos que x 0 = - 1 2   e     y 0 = 0 . Os vértices de uma elipse com centro fora da origem pode ser descrito como V = x 0 , y 0 ± a , então nossos vértices são V = ( - 1 2 , ± 1 )

Passo 3

Agora os focos de uma elipse são dados por f = ( x 0 , y 0 ± a 2 + b 2 ) , então f = - 1 2 , ± 3 2

Resposta

Elipse

V = ( - 1 2 , ± 1 )

f = - 1 2 , ± 3 2

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