Enunciado

Se ignorarmos a resistência do ar, poderemos concluir que os objetos mais pesados não caem mais rápido que objetos mais leves. Mas, se considerarmos a resistência do ar, nossa conclusão muda. Use a expressão para a velocidade de queda de um objeto no Exercício 35(a) para calcular dv/dm e mostrar que os objetos mais pesados caem mais rápido que os mais leves.

Passo 1

No exercício 35(a) temos a expressão   v = m g c ( 1 - e c t m ) para a velocidade de um corpo caindo, nessa questão, nós queremos calcular d v / d m , vamos fazer isso derivando a equação da velocidade em relação a massa, para fazer isso precisamos lembrar da regra para derivar um produto: u v ' = u ' v + u v ' , usando isso, ficamos com:

d v d m = d d m m g c 1 - e - c t m - m g c d d m [ 1 - e - c t m ]

d v d m = g c 1 - e - c t m - m g c d e - c t m d m

Agora para resolver a derivada que sobrou, vamos usar a regra da cadeia u o v ' = u ' o v v '

d v d m = g c 1 - e - c t m - m g c d e - c t m d - c t m d - c t m d m

d v d m = g c 1 - e - c t m - m g c e - c t m c t m 2

d v d m = g c 1 - e - c t m - e - c t m g t m

Passo 2

Agora nós precisamos mostrar que d v d m > 0 porque se v   aumenta com o aumento de m , d v d m deve ser positivo.

Isto é,

g c 1 - e - c t m - e - c t m g t m > 0

1 c 1 - e - c t m - e - c t m t m > 0

1 - e - c t m > e - c t m c t m

1 > e - c t m 1 + c t m

e c t m > 1 + c t m

Vamos parar para pensar um pouquinho em quando isso ocorre...essa desigualdade é sempre verdadeira, desde que c t m > 0 , o que implica d v d m > 0 para t > 0 . Em outras palavras, provamos que v   aumenta conforme m aumenta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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