Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 3 cos ⁡ 6 θ

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 3 cos ⁡ 6 θ

Nas equações polares o r representa a distância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Queremos esboçar esse gráfico.

Então como faremos isso???

Bom... Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido...

Então vamos colocar alguns valores para θ e substituir na equação a fim de analisarmos o seu comportamento!! 😉

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de θ :

r = 3 cos ⁡ 6 θ

Vamos calcular para θ = 0 :

r 0 = 3 cos ⁡ 6 ⋅ 0

r 0 = 3

Para θ = π 2 :

r π 2 = 3 cos ⁡ 6 ⋅ π 2

r π 2 = 3 cos ⁡ 3 π

r π 2 = - 3

Para θ = π :

r π = 3 cos ⁡ 6 π

r π = 3

Para θ = 3 π 2 :

r 3 π 2 = 3 cos ⁡ 6 ⋅ 3 π 2

r 3 π 2 = 3 cos ⁡ 9 π

r 3 π 2 = - 3

Para θ = 2 π :

r 2 π = 3 cos ⁡ 12 π

r 2 π = 3

Passo 3

Agora precisamos saber como a função se comporta entre esses ângulos, para isso vamos analisar a função r = 3 cos ⁡ 6 θ .

Como o 3 é só uma constante multiplicando, vamos analisar somente o cos ⁡ 6 θ   e no gráfico triplicamos todos os valores.

A análise vai ser um pouco complicada, já que temos o 6 como multiplicativo no argumento, teremos que fazer uma análise dando 6 voltas no círculo trigonométrico, uma volta e meia no cosseno por quadrante do plano.

No primeiro quadrante o argumento do cosseno vai variar de 0 a 3 π , e em cada quadrante vai ter uma amplitude de 3 π , ou seja uma volta e meia na função por quadrante.

Neste intervalo o valor do cosseno vai iniciar em 1 diminuindo para 0 e para - 1 , depois subindo para 0 e para 1 retornando ao 0 e finalizando no - 1 .

Para o segundo quadrante o argumento vai variar de 3 π a 6 π e o valor do cosseno vai de - 1 ao 0 , depois ao 1 , logo após voltando ao 0 e ao - 1 e por fim subindo novamente ao 0 e ao 1 .

No terceito quadrante repete o comportamento do primeiro e no quarto repete o do segundo.

Passo 4

Lembrando que o r não assume valores negativos, mas pra questão do gráfico podemos assumir os valores negativos de r como uma distancia no sentido oposto, ou desconsiderar todos esses valores.

Depois de analisado os valores do cosseno em todo o intervalo, vamos ao plano tentar representar nosso pensamento.

Se nós considerarmos os valores negativos da função como uma distância no sentido oposto, teremos o seguinte gráfico:

Se desconsiderarmos todos os valores negativos da função, teremos o seguinte gráfico:

Resposta

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