Enunciado

57-63. Encontre os valores de x   para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x .

60.   ∑ n = 0 ∞ - 4 n ( x - 5 ) n

Passo 1

Colocando n em evidência poderemos escrever a série em questão da seguinte forma:

  ∑ n = 0 ∞ - 4 n ( x - 5 ) n =   ∑ n = 0 ∞ - 4 . x - 5 n

Esse formato é característico de uma série geométrica, não é mesmo? Caso não se lembre, ela tem esse formato aqui:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1

No nosso caso temos que a = 1 e r = - 4 . x - 5 , uma vez que a é o primeiro termo da sequência e r é a relação comum.

Passo 2

Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

a 1 - r

Tudo bem, agora que já temos informações suficientes vamos fazer a análise de x ! Como queremos os valores de x para os quais a série converge, então teremos:

r < 1

- 4 . x - 5 < 1

Retirando o módulo e, portanto, assumindo as consequências referentes ao sinal, teremos:

- 1 < - 4 . x - 5 < 1

21 4 < x < 1 9 4

E esse intervalo representa os valores de x para os quais a série é convergente! Por fim, a soma será:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 0 ∞ - 4 n ( x - 5 ) n = 1 1 - - 4 . x - 5 = 1 4 x - 19

Resposta

21 4 < x < 1 9 4

∑ n = 0 ∞ - 4 n ( x - 5 ) n = 1 4 x - 19

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 53-56, determine quantos termos devem ser utilizados para calcular a soma da série inteira com um erro de menos de 0,001. ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 l n ⁡ ( ln ⁡ n + 2 ) ⁡
Na série harmônica alternada, suponha que o objetivo seja rearranjar os termos para conseguir uma nova série que convirja para -1/2. Inicie o novo rearranjo com o primeiro termo negativo, que é -1/2.
Mostre com exemplo que ∑ n = 1 ∞ a n b n pode divergir, mesmo se ∑ n = 1 ∞ a n e ∑ n = 1 ∞ b n convergirem.
Mostre que se ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ | a n |
Mostre que se tanto ∑ n = 1 ∞ a n quanto ∑ n = 1 ∞ b n convergem absolutamente, então isso também acontece com as séries a seguir. ∑ n = 1 ∞( a n + b n ) ∑ n = 1 ∞( a n - b n ) ∑ n = 1 ∞k a n ( q u a