Enunciado

A instrução para a integral ∫ 1 2 1 s 2   d s , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( 2   –   1 ) 4 = 1 4

T = 1 / 4 2 (1 + 2 * 16 25 + 2 * 4 9 + 2 *   16 49   + 1 4 )

T = 1 8 (1 + 32 25 + 8 9 + 32 49 + 1 4 )

T = 1 8 * 4,072 ≈ 0,509

f(s) = 1 s 2     => f’(s) = - 2 s 3 => f”(s) = 6 s 4 ;

Logo o M = f”(s1) = 6 1 4 = 6 e | ET | ≤   ( 2 - 1 ) 12 6 1 4 2 = 1 32

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f ( x )   d x – T).

(b) ∫ 1 2 1 s 2 ds

= - 1 s 1 2

        =   - 1 2 - - 1 1

= - 1 2 +   1 = 1 2

| ET | = ( ∫ 1 2 1 s 2   d s ) – T = 1 2 – 0,509 = - 0,009 = 0,009

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,009 1 / 2 * 100 ≈ 2%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( 2   –   1 ) 4 = 1 4

S = 1 / 4 3 (1 + 4 * 16 25 + 2 * 4 9 + 4 *   16 49   + 1 4 )

S = 1 12   (1 + 64 25 + 8 9 + 64 49 + 1 4 )

S = 1 12 (6,005) ≈ 0,5004

f(s) = 1 s 2     => f’(s) = - 2 s 3 => f”(s) = 6 s 4 => f(3)(s) = - 24 s 5 => f(4)(s) = 120 s 6

Logo o M = f(4)(s1) = 120 1 6 = 120 e | ES | ≤   ( 2 - 1 ) 180 120 1 4 4 = 1 384

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f ( x ) d x – S).

(b) ∫ 1 2 1 s 2 ds

= - 1 s 1 2

        =   - 1 2 - - 1 1

= - 1 2 +   1 = 1 2

| ES | = ( ∫ 1 2 1 s 2   d s ) – S = 1 2 - 0,5004 = - 0,0004 = 0,0004

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0,0004 1 / 2 * 100 ≈ 0,08%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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