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Sua empresa de fabricação de metal está tentando fechar contrato para produzir folhas onduladas de metal para telhado, como mostramos a seguir. As seções transversais dessas folhas devem se ajustar à curva

y = s e n   3 π 20   x ,       x ∈ 0,20

Se as telhas devem ser moldadas a partir de folhas planas, por um processo que não deforme o material, qual deverá ser a largura da folha original? Para descobrir, use integração numérica para aproximar o comprimento da senoide com uma precisão de duas casas decimais.

Passo 1

Aviso aos Navegantes : Essa é uma questão de integração numérica. Isso significa que precisaremos de uma calculadora em algum momento de nosso cálculo. Então nós queremos saber na real o comprimento da função s e n   3 π 20   x .

Vamos lembrar que o comprimento (   C   ) de uma função pode ser encontrada por :

C =   ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

Então precisamos encontrar a derivada de nossa função primeiro.

Passo 2

f x =   s e n   3 π 20   x  

f ' x = cos ⁡ 3 π 20   x   * 3 π 20  

f ' x 2 =   cos 2 ⁡ 3 π 20   x   *   3 π 20 2    

Então nosso comprimento fica

C =   ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

C =   ∫ 0 20 1 + cos 2 ⁡ 3 π 20   x   *   3 π 20 2     d x

E é essa a parte numérica. Vamos apelar para nossa calculadora.

C = 21,07   p o l → 0,54   m

Por aqui terminamos, te encontro na próxima resolução. : )

Resposta

C = 21,07   p o l → 0,54   m

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